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微分積分 例
ステップ 1
ステップ 1.1
一次導関数を求めます。
ステップ 1.1.1
およびのとき、はであるという連鎖律を使って微分します。
ステップ 1.1.1.1
連鎖律を当てはめるために、をとします。
ステップ 1.1.1.2
のとき、はであるというべき乗則を使って微分します。
ステップ 1.1.1.3
のすべての発生をで置き換えます。
ステップ 1.1.2
に関するの微分係数はです。
ステップ 1.1.3
にをかけます。
ステップ 1.2
に関するの一次導関数はです。
ステップ 2
ステップ 2.1
一次導関数をに等しくします。
ステップ 2.2
方程式の左辺の個々の因数がと等しいならば、式全体はと等しくなります。
ステップ 2.3
をに等しくし、を解きます。
ステップ 2.3.1
がに等しいとします。
ステップ 2.3.2
についてを解きます。
ステップ 2.3.2.1
方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中からを取り出します。
ステップ 2.3.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 2.3.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 2.3.2.3
余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第四象限で解を求めます。
ステップ 2.3.2.4
を簡約します。
ステップ 2.3.2.4.1
を公分母のある分数として書くために、を掛けます。
ステップ 2.3.2.4.2
分数をまとめます。
ステップ 2.3.2.4.2.1
とをまとめます。
ステップ 2.3.2.4.2.2
公分母の分子をまとめます。
ステップ 2.3.2.4.3
分子を簡約します。
ステップ 2.3.2.4.3.1
にをかけます。
ステップ 2.3.2.4.3.2
からを引きます。
ステップ 2.3.2.5
の周期を求めます。
ステップ 2.3.2.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 2.3.2.5.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 2.3.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 2.3.2.5.4
をで割ります。
ステップ 2.3.2.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 2.4
をに等しくし、を解きます。
ステップ 2.4.1
がに等しいとします。
ステップ 2.4.2
についてを解きます。
ステップ 2.4.2.1
方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中からを取り出します。
ステップ 2.4.2.2
右辺を簡約します。
ステップ 2.4.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 2.4.2.3
正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、から参照角を引き、第二象限で解を求めます。
ステップ 2.4.2.4
からを引きます。
ステップ 2.4.2.5
の周期を求めます。
ステップ 2.4.2.5.1
関数の期間はを利用して求めることができます。
ステップ 2.4.2.5.2
周期の公式のをで置き換えます。
ステップ 2.4.2.5.3
絶対値は数と0の間の距離です。との間の距離はです。
ステップ 2.4.2.5.4
をで割ります。
ステップ 2.4.2.6
関数の周期がなので、両方向でラジアンごとに値を繰り返します。
、任意の整数
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 2.5
最終解はを真にするすべての値です。
、任意の整数
ステップ 2.6
答えをまとめます。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 3
ステップ 3.1
式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。
ステップ 4
ステップ 4.1
での値を求めます。
ステップ 4.1.1
をに代入します。
ステップ 4.1.2
簡約します。
ステップ 4.1.2.1
の厳密値はです。
ステップ 4.1.2.2
1のすべての数の累乗は1です。
ステップ 4.2
での値を求めます。
ステップ 4.2.1
をに代入します。
ステップ 4.2.2
簡約します。
ステップ 4.2.2.1
の厳密値はです。
ステップ 4.2.2.2
を正数乗し、を得ます。
ステップ 4.3
点のすべてを一覧にします。
、任意の整数
、任意の整数
ステップ 5