微分積分例

$x^{2} y^{2} = 36$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

$x^{2} y^{2} = 36$ の各項を $x^{2}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$x^{2} y^{2} = 36$ の各項を $x^{2}$ で割ります。

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y^{2}}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 1.1.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{36}{x^{2}}$

ステップ 1.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$

ステップ 1.3

$\pm \sqrt{\frac{36}{x^{2}}}$ を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 1.3.2

$\frac{6^{2}}{x^{2}}$ を ${(\frac{6}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}$

ステップ 1.3.3

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{6}{x}$

ステップ 1.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{6}{x}$

ステップ 1.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{6}{x}$

ステップ 1.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

$y = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{6}{x} \to f (x) = \frac{6}{x}$

$y = - \frac{6}{x} \to f (x) = - \frac{6}{x}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.3

$2$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 3.2.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)$

ステップ 3.2.6

$2$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x$

ステップ 3.3

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $2 y^{2} x$ を引きます。

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$

ステップ 3.5.2

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ の各項を $2 x^{2} y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x$ の各項を $2 x^{2} y$ で割ります。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2.3

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.2.3.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $- 2 y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$2$ を $2 x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.3.2

$y^{2}$ と $y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.2.1

$y$ を $- y^{2} x$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y}$

ステップ 3.5.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.2.2.1

$y$ を $x^{2} y$ で因数分解します。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y x}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.3

$x$ と $x^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.3.1

$x$ を $- y x$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2.3.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.3.3.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

ステップ 3.5.2.3.3.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x}$

ステップ 3.5.2.3.3.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- y}{x}$

ステップ 3.5.2.3.4

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{y}{x}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{y}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 4.1.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 4.1.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 4.2

$- \frac{y}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 4.2.1

$- \frac{y}{x} = 0$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{y}{x} x = 0 x$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

ステップ 4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- y}{x} x = 0 x$

ステップ 4.2.2.1.3

式を書き換えます。

$- y = 0 x$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$0$ に $x$ をかけます。

$- y = 0$

ステップ 4.3

$- y = 0$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

$- y = 0$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{y}{1} = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.2.2

$y$ を $1$ で割ります。

$y = \frac{0}{- 1}$

ステップ 4.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$0$ を $- 1$ で割ります。

$y = 0$

ステップ 4.4

変数 $x$ は約分されました。

すべての実数

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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ステップ 5.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

指数を足して $l$ に $l$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$l$ を移動させます。

ステップ 5.2.1.2

$l$ に $l$ をかけます。

ステップ 5.2.2

指数を足して $l^{2}$ に $l$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$l$ を移動させます。

ステップ 5.2.2.2

$l$ に $l^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$l$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 5.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

ステップ 5.2.3

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$r$ を移動させます。

ステップ 5.2.3.2

$r$ に $r$ をかけます。

ステップ 5.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$e$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.4.2

$e$ を $1$ 乗します。

ステップ 5.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 5.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ です。

$\frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{6}{x}$ at $x = A l \cdot l (r e a l) (n u m b e r s)$ .

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ステップ 6.1

Replace the variable $x$ with All real numbers in the expression.

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

指数を足して $l$ に $l$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$l$ を移動させます。

ステップ 6.2.1.2

$l$ に $l$ をかけます。

ステップ 6.2.2

指数を足して $l^{2}$ に $l$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$l$ を移動させます。

ステップ 6.2.2.2

$l$ に $l^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$l$ を $1$ 乗します。

ステップ 6.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 6.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

ステップ 6.2.3

指数を足して $r$ に $r$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$r$ を移動させます。

ステップ 6.2.3.2

$r$ に $r$ をかけます。

ステップ 6.2.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$e$ を $1$ 乗します。

ステップ 6.2.4.2

$e$ を $1$ 乗します。

ステップ 6.2.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

ステップ 6.2.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$ です。

$- \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

$y = \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}, y = - \frac{6}{A l^{3} r^{2} a n u m b e^{2} s}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例