微分積分例

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 8 x + 7$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ です。

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.3

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.5

$- 8$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.6

$7$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $7$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.7

$2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

ステップ 1.2.8

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

ステップ 1.2.10

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

ステップ 1.2.11

式を簡約します。

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ステップ 1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

ステップ 1.2.11.2

$x^{2} - 8 x + 7$ に $1$ をかけます。

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3

簡約します。

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ステップ 1.3.1

分配則を当てはめます。

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.2

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.3

分配則を当てはめます。

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4

項をまとめます。

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ステップ 1.3.4.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.2

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.6

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.7

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.8

$- 2 x$ から $8 x$ を引きます。

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.9

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

ステップ 1.3.4.10

$- 10 x$ から $8 x$ を引きます。

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

ステップ 1.3.4.11

$8$ と $7$ をたし算します。

$3 x^{2} - 18 x + 15$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3 x^{2} - 18 x + 15$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

ステップ 2.1.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

ステップ 2.1.1.3

$3$ を $15$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

ステップ 2.1.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

ステップ 2.1.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

ステップ 2.1.2

因数分解。

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ステップ 2.1.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x + 5$ を因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $5$ で、その和が $- 6$ です。

$- 5, - 1$

ステップ 2.1.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.1.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.3

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.3.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.3.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.4

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.5

最終解は $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 5, 1$

ステップ 3

$x = 5$ における元の関数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$5$ から $1$ を引きます。

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

ステップ 3.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

ステップ 3.2.2.2

$- 8$ に $5$ をかけます。

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

ステップ 3.2.3

式を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$25$ から $40$ を引きます。

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

ステップ 3.2.3.2

$- 15$ と $7$ をたし算します。

$f (5) = 4 \cdot - 8$

ステップ 3.2.3.3

$4$ に $- 8$ をかけます。

$f (5) = - 32$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $- 32$ です。

$- 32$

ステップ 4

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

ステップ 4.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

ステップ 4.2.2.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

ステップ 4.2.3

式を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

$1$ から $8$ を引きます。

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

ステップ 4.2.3.2

$- 7$ と $7$ をたし算します。

$f (1) = 0 \cdot 0$

ステップ 4.2.3.3

$0$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 5

関数 $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ の水平接線は $y = - 32, y = 0$ です。

$y = - 32, y = 0$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例