微分積分例

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$

ステップ 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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ステップ 1.1

方程式の両辺から $4 x^{2}$ を引きます。

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$

ステップ 1.2

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.1

$9 y^{2} = 36 - 4 x^{2}$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.2.1.2

$y^{2}$ を $1$ で割ります。

$y^{2} = \frac{36}{9} + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.3.1.1

$36$ を $9$ で割ります。

$y^{2} = 4 + \frac{- 4 x^{2}}{9}$

ステップ 1.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y^{2} = 4 - \frac{4 x^{2}}{9}$

ステップ 1.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4

$\pm \sqrt{4 - \frac{4 x^{2}}{9}}$ を簡約します。

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ステップ 1.4.1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.4.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - \frac{4 x^{2}}{9}}$

ステップ 1.4.1.2

$\frac{4 x^{2}}{9}$ を ${(\frac{2 x}{3})}^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{2^{2} - {(\frac{2 x}{3})}^{2}}$

ステップ 1.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = \frac{2 x}{3}$ です。

$y = \pm \sqrt{(2 + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.3

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{(2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.4

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{(\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{2 x}{3}) (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.5

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.6

$2$ を $2 \cdot 3 + 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.6.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 x}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.6.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3) + 2 (x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.6.3

$2$ を $2 (3) + 2 (x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.7

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.8

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} (\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2 x}{3})}$

ステップ 1.4.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 \cdot 3 - 2 x}{3}}$

ステップ 1.4.10

$2$ を $2 \cdot 3 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.4.10.1

$2$ を $2 \cdot 3$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) - 2 x}{3}}$

ステップ 1.4.10.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3) + 2 (- x)}{3}}$

ステップ 1.4.10.3

$2$ を $2 (3) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x)}{3} \cdot \frac{2 (3 - x)}{3}}$

ステップ 1.4.11

$\frac{2 (3 + x)}{3}$ に $\frac{2 (3 - x)}{3}$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (3 + x) (2 (3 - x))}{3 \cdot 3}}$

ステップ 1.4.12

掛け算します。

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ステップ 1.4.12.1

$2$ に $2$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{3 \cdot 3}}$

ステップ 1.4.12.2

$3$ に $3$ をかけます。

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}}$

ステップ 1.4.13

$\frac{4 (3 + x) (3 - x)}{9}$ を ${(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))$ に書き換えます。

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ステップ 1.4.13.1

$4 (3 + x) (3 - x)$ から完全累乗 $2^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{9}}$

ステップ 1.4.13.2

$9$ から完全累乗 $3^{2}$ を因数分解します。

$y = \pm \sqrt{\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}}$

ステップ 1.4.13.3

分数 $\frac{2^{2} ((3 + x) (3 - x))}{3^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2}{3})}^{2} ((3 + x) (3 - x))}$

ステップ 1.4.14

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm \frac{2}{3} \sqrt{(3 + x) (3 - x)}$

ステップ 1.4.15

$\frac{2}{3}$ と $\sqrt{(3 + x) (3 - x)}$ をまとめます。

$y = \pm \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 1.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 1.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 1.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

$y = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3} \to f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$

ステップ 3

Because the $y$ variable in the equation $4 x^{2} + 9 y^{2} = 36$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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ステップ 3.1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (4 x^{2} + 9 y^{2}) = \frac{d}{d x} (36)$

ステップ 3.2

方程式の左辺を微分します。

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ステップ 3.2.1

総和則では、 $4 x^{2} + 9 y^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [9 y^{2}]$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [9 y^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.3.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 y^{2}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ です。

$8 x + 9 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

ステップ 3.2.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$8 x + 9 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x + 9 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$8 x + 9 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

ステップ 3.2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$8 x + 9 (2 y y')$

ステップ 3.2.3.4

$2$ に $9$ をかけます。

$8 x + 18 y y'$

ステップ 3.2.4

項を並べ替えます。

$18 y y' + 8 x$

ステップ 3.3

$36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $36$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 3.4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$18 y y' + 8 x = 0$

ステップ 3.5

$y'$ について解きます。

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ステップ 3.5.1

方程式の両辺から $8 x$ を引きます。

$18 y y' = - 8 x$

ステップ 3.5.2

$18 y y' = - 8 x$ の各項を $18 y$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.1

$18 y y' = - 8 x$ の各項を $18 y$ で割ります。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{18 y y'}{18 y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.2

$y$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 8 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 8 x}{18 y}$

ステップ 3.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.3.1

$- 8$ と $18$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.1

$2$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{18 y}$

ステップ 3.5.2.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.3.1.2.1

$2$ を $18 y$ で因数分解します。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$y' = \frac{2 (- 4 x)}{2 (9 y)}$

ステップ 3.5.2.3.1.2.3

式を書き換えます。

$y' = \frac{- 4 x}{9 y}$

ステップ 3.5.2.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{4 x}{9 y}$

ステップ 3.6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x}{9 y}$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4 x}{9 y} = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

分子を0に等しくします。

$4 x = 0$

ステップ 4.2

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$4 x = 0$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{4}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

$0$ を $4$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 5

Solve the function $f (x) = \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2.2

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

ステップ 5.2.2.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

ステップ 5.2.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

ステップ 5.2.2.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

ステップ 5.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = \frac{2 \cdot 3}{3}$

ステップ 5.2.3

式を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f (0) = \frac{6}{3}$

ステップ 5.2.3.2

$6$ を $3$ で割ります。

$f (0) = 2$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 6

Solve the function $f (x) = - \frac{2 \sqrt{(3 + x) (3 - x)}}{3}$ at $x = 0$ .

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

括弧を削除します。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{(3 + 0) (3 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 - (0))}}{3}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 (3 + 0)}}{3}$

ステップ 6.2.2.3

$3$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3 \cdot 3}}{3}$

ステップ 6.2.2.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{9}}{3}$

ステップ 6.2.2.5

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = - \frac{2 \sqrt{3^{2}}}{3}$

ステップ 6.2.2.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = - \frac{2 \cdot 3}{3}$

ステップ 6.2.3

式を簡約します。

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ステップ 6.2.3.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f (0) = - \frac{6}{3}$

ステップ 6.2.3.2

$6$ を $3$ で割ります。

$f (0) = - 1 \cdot 2$

ステップ 6.2.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f (0) = - 2$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 7

The horizontal tangent lines are $y = 2, y = - 2$

$y = 2, y = - 2$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例