微分積分例

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 1.4.2

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2 \cos (x)$ を $2 \sin (x) \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2.2

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$2 \cos (x)$ を $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 2.4

$\cos (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$\cos (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $\cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (0)$

ステップ 2.4.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.3

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.4

$2 π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.4.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.4.2.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.4.2.4.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.4.2.4.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.4.2.4.3.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.4.2.5

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.5.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.6

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$\sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$\sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $\sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 2.5.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 2.5.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 2.5.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 2.5.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 2.5.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.3

分数をまとめます。

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ステップ 2.5.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{π}{2}$ における元の関数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 3.2.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

ステップ 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

ステップ 3.2.1.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

ステップ 3.2.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = 3$

ステップ 3.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 4

$x = \frac{π}{2} + π$ における元の関数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2} + π$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.2

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.1.4.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.4.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.5

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.6

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.7

$2 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.7.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

ステップ 4.2.1.8

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

ステップ 4.2.1.9

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

ステップ 4.2.1.10

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

ステップ 4.2.1.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.11.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

ステップ 4.2.1.11.2

$π$ と $2 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

ステップ 4.2.1.12

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第四象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

ステップ 4.2.1.13

$\sin (\frac{π}{2})$ の厳密値は $1$ です。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

ステップ 4.2.1.14

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

ステップ 4.2.1.15

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

ステップ 4.2.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5

関数 $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ の水平接線は $y = 3, y = - 1$ です。

$y = 3, y = - 1$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例