微分積分例

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

${(x - 1)}^{2}$ を $(x - 1) (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 1) (x - 1)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 1.3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 1.3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 1.3.1.4

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

ステップ 1.3.1.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

ステップ 1.3.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

ステップ 1.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

ステップ 1.5

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.7

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.9

$- 2$ に $1$ をかけます。

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 1.10

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (2 x - 2 + 0)$

ステップ 1.11

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$2 (2 x - 2)$

ステップ 1.12

簡約します。

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ステップ 1.12.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

ステップ 1.12.2

項をまとめます。

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ステップ 1.12.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 x + 2 \cdot - 2$

ステップ 1.12.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$4 x - 4$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x - 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$4 x = 4$

ステップ 2.2

$4 x = 4$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$4 x = 4$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

ステップ 2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{4}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$4$ を $4$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 3

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

ステップ 3.2.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (1) = 2 \cdot 0$

ステップ 3.2.3

$2$ に $0$ をかけます。

$f (1) = 0$

ステップ 3.2.4

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4

関数 $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ の水平接線は $y = 0$ です。

$y = 0$

ステップ 5

微分積分 例

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