微分積分例

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

微分します。

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ステップ 1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6

式を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

分子を0に等しくします。

$- x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 2.2.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 2.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 2.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 2.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 2.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 2.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 2.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{1}{{(1)}^{2} + 1}$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

ステップ 3.2.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 4

$x = - 1$ における元の関数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 1}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \frac{- 1}{1 + 1}$

ステップ 4.2.1.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 1) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ の水平接線は $y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$ です。

$y = \frac{1}{2}, y = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例