微分積分例

$y = 7 x - x^{2}$

ステップ 1

$7 x$ と $- x^{2}$ を並べ替えます。

$y = - x^{2} + 7 x$

ステップ 2

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = - x^{2} + 7 x$

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

総和則では、 $- x^{2} + 7 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 x + \frac{d}{d x} [7 x]$

ステップ 3.3

$\frac{d}{d x} [7 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 2 x + 7 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 3.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 x + 7 \cdot 1$

ステップ 3.3.3

$7$ に $1$ をかけます。

$- 2 x + 7$

ステップ 4

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 2 x + 7 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.1

方程式の両辺から $7$ を引きます。

$- 2 x = - 7$

ステップ 4.2

$- 2 x = - 7$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2 x = - 7$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 7}{- 2}$

ステップ 4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x = \frac{7}{2}$

ステップ 5

$x = \frac{7}{2}$ における元の関数 $f (x) = - x^{2} + 7 x$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{7}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{7}{2}) = - {(\frac{7}{2})}^{2} + 7 (\frac{7}{2})$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

積の法則を $\frac{7}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{7^{2}}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

ステップ 5.2.1.2

$7$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{2^{2}} + 7 (\frac{7}{2})$

ステップ 5.2.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + 7 (\frac{7}{2})$

ステップ 5.2.1.4

$7 (\frac{7}{2})$ を掛けます。

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ステップ 5.2.1.4.1

$7$ と $\frac{7}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{7 \cdot 7}{2}$

ステップ 5.2.1.4.2

$7$ に $7$ をかけます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2}$

ステップ 5.2.2

$\frac{49}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49}{2} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 5.2.3.1

$\frac{49}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

ステップ 5.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7}{2}) = - \frac{49}{4} + \frac{49 \cdot 2}{4}$

ステップ 5.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 49 \cdot 2}{4}$

ステップ 5.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.5.1

$49$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{- 49 + 98}{4}$

ステップ 5.2.5.2

$- 49$ と $98$ をたし算します。

$f (\frac{7}{2}) = \frac{49}{4}$

ステップ 5.2.6

最終的な答えは $\frac{49}{4}$ です。

$\frac{49}{4}$

ステップ 6

関数 $f (x) = - x^{2} + 7 x$ の水平接線は $y = \frac{49}{4}$ です。

$y = \frac{49}{4}$

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例