微分積分例

$y = x + \cos (x)$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = x + \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

微分します。

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ステップ 2.1.1

総和則では、 $x + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$1 - \sin (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 - \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \sin (x) = - 1$

ステップ 3.2

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- \sin (x) = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$\sin (x) = 1$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (1)$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\arcsin (1)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6

$π - \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.6.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

ステップ 3.6.3.2

$2 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$x = \frac{π}{2}$ における元の関数 $f (x) = x + \cos (x)$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2}) = (\frac{π}{2}) + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2} + 0$

ステップ 4.2.2

$\frac{π}{2}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2}) = \frac{π}{2}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{π}{2}$ です。

$\frac{π}{2}$

ステップ 5

$x = \frac{π}{2} + 2 π$ における元の関数 $f (x) = x + \cos (x)$ を解きます。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{2} + 2 π$ で置換えます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = (\frac{π}{2} + 2 π) + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

公分母を求めます。

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ステップ 5.2.1.1

$2 π$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

ステップ 5.2.1.2

$\frac{2 π}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π}{1} \cdot \frac{2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

ステップ 5.2.1.3

$\frac{2 π}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \cos (\frac{π}{2} + 2 π)$

ステップ 5.2.1.4

$\cos (\frac{π}{2} + 2 π)$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$

ステップ 5.2.1.5

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 5.2.1.6

$\frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π)}{1}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2} + \frac{\cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 2 π \cdot 2 + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + 2 π \cdot \frac{2}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.3

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2} + \frac{2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 2 π \cdot 2}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.5

分子を簡約します。

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ステップ 5.2.3.5.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π + 4 π}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.5.2

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{5 π}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.6

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + \cos (\frac{π}{2}) \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.7

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0 \cdot 2}{2}$

ステップ 5.2.3.8

$0$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{π + 4 π + 0}{2}$

ステップ 5.2.4

項を加えて簡約します。

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ステップ 5.2.4.1

$π$ と $4 π$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π + 0}{2}$

ステップ 5.2.4.2

$5 π$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{2} + 2 π) = \frac{5 π}{2}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{5 π}{2}$ です。

$\frac{5 π}{2}$

ステップ 6

関数 $f (x) = x + \cos (x)$ の水平接線は $y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$ です。

$y = \frac{π}{2}, y = \frac{5 π}{2}$

ステップ 7

微分積分 例

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