微分積分例

$y = \sec (x)$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = \sec (x)$

ステップ 2

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\sec (x) \tan (x)$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\sec (x) \tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$\sec (x) = 0$

$\tan (x) = 0$

ステップ 3.2

$\sec (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

$\sec (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\sec (x) = 0$

ステップ 3.2.2

割線の値域は $y \leq - 1$ と $y \geq 1$ です。 $0$ がこの値域にないので、解はありません。

解がありません

ステップ 3.3

$\tan (x)$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.3.1

$\tan (x)$ が $0$ に等しいとします。

$\tan (x) = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ について $\tan (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (0)$

ステップ 3.3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$\arctan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 3.3.2.3

正接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$x = π + 0$

ステップ 3.3.2.4

$π$ と $0$ をたし算します。

$x = π$

ステップ 3.3.2.5

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.3.2.5.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.3.2.5.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.3.2.5.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.3.2.5.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.3.2.6

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.4

最終解は $\sec (x) \tan (x) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = π n, π + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.5

答えをまとめます。

$x = π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

$x = π$ における元の関数 $f (x) = \sec (x)$ を解きます。

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ステップ 4.1

$f (π) = \sec (π)$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正割は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (π) = - \sec (0)$

ステップ 4.2.2

$\sec (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f (π) = - 1 \cdot 1$

ステップ 4.2.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (π) = - 1$

ステップ 4.2.4

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 5

関数 $f (x) = \sec (x)$ の水平接線は $y = x = π n, y = - 1$ です。

$y = x = π n, y = - 1$

ステップ 6

微分積分 例

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