微分積分例

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 2

微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

微分します。

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ステップ 2.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.8

式を簡約します。

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ステップ 2.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 3.2

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

$0$ 、 $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ に等しい導関数を設定しても解が見つからないので、水平接線は存在しなません。

水平正切線が見つかりません

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例