微分積分例

$y = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

ステップ 1

$y$ を $x$ の関数とします。

$f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$

ステップ 2

微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x + 1}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{(x + 1) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8.2

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{(x + 1) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.9

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.11

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.12

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.12.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x + 1) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1.1

$x$ と $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1.3.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.1.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.3.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.3.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.1.4

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.2

$- x^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - x^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.3

$- x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.5.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.2.5.1.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.1.1.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.1.1.3

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.1.1.4

$x^{\frac{1}{2}}$ を $x^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + x^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.1.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.2

$- 1$ を $x^{\frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 1 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.2.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.1

$\frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$ に $\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.2

まとめる。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}})}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.4

$2 x^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x^{\frac{1}{2}} (- \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.6

$- 2$ と $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.7

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{- 2 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{1}{2}})}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.8

指数を足して $x^{\frac{1}{2}}$ に $x^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.8.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.8.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.8.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.8.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{x^{\frac{2}{2}} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.8.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{\frac{x^{1} \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.9

$x^{1} \cdot - 2$ を簡約します。

$\frac{\frac{x \cdot - 2}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.10

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{- 2 \cdot x}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.11

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.11.1

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.11.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.13.3.11.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 (1)} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.11.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{2 (- x)}{2 \cdot 1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.11.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{- x}{1} + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.3.11.2.4

$- x$ を $1$ で割ります。

$\frac{- x + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.4

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{- (x) + 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.5

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.6

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{- (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.7

$- (x - 1)$ を $- 1 (x - 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 2.13.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}}$

ステップ 3

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{x - 1}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

分子を0に等しくします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

$x = 1$ における元の関数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \frac{\sqrt{1}}{(1) + 1}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$f (1) = \frac{1}{1 + 1}$

ステップ 4.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{2}$ です。

$\frac{1}{2}$

ステップ 5

関数 $f (x) = \frac{\sqrt{x}}{x + 1}$ の水平接線は $y = \frac{1}{2}$ です。

$y = \frac{1}{2}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例