微分積分例

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

総和則では、 $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

ステップ 1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.1.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.1.2

分配則を当てはめます。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$2$ を $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$2$ を $4 \cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2.1.2

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$2$ を $- 2 \cos (x)$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.1.4

$2$ を $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.1.5

$2$ を $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 2.2.2.1.1

項を並べ替えます。

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.2.1.2.1

$- 1$ を $- \cos (x)$ で因数分解します。

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.2.4

$\cos (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.1.4

最大公約数 $2 \cos (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.4

$2 \cos (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$2 \cos (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $2 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 2.4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.4.2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 2.4.2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 2.4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.4.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.4.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.4.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.5

$\cos (x) - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$\cos (x) - 1$ が $0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 2.5.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 2.5.2.5

$2 π$ から $0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 2.5.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.5.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.5.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.5.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.5.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.6

最終解は $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.7

答えをまとめます。

$x = \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{2 π}{3}$ における元の関数 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

$2 (\frac{2 π}{3})$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1.1.1

$2$ と $\frac{2 π}{3}$ をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2.1.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2.1.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2.1.3

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2.1.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 3.2.1.5

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.2.1.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.6.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3.2.1.6.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3.2.1.6.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

ステップ 3.2.1.7

$- 1 \sqrt{3}$ を $- \sqrt{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

ステップ 3.2.2

$- \sqrt{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 3.2.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.3.1

$- \sqrt{3}$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.3.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

ステップ 3.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.2.4.2

$- \sqrt{3}$ から $2 \sqrt{3}$ を引きます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 3.2.6

最終的な答えは $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ です。

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 4

関数 $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ の水平接線は $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ です。

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

ステップ 5

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

10進法形式：

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例