微分積分例

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $x + 2 \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

ステップ 1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$1 + 2 \cos (x)$

ステップ 2

微分係数を $0$ と等しくし、次に方程式 $1 + 2 \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.2.1

$2 π$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.3.1

$3$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 2.6.3.2

$6 π$ から $2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

$x = \frac{2 π}{3}$ における元の関数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 3.1

式の変数 $x$ を $\frac{2 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

ステップ 3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

ステップ 3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 3.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 3.2.2

最終的な答えは $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ です。

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

ステップ 4

$x = \frac{4 π}{3}$ における元の関数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ を解きます。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $\frac{4 π}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。正弦は第三象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.2.1.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

ステップ 4.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 4.2.2

最終的な答えは $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ です。

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 5

関数 $f (x) = x + 2 \sin (x)$ の水平接線は $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ です。

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例