微分積分例

$y = x + \sin (x y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

ステップ 2

$x$ に関する $y$ の微分係数は $y'$ です。

$y'$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

微分します。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $x + \sin (x y)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

ステップ 3.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x y$ とします。

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.1.3

$u$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 3.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

ステップ 3.2.5

$y$ に $1$ をかけます。

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

ステップ 3.3

簡約します。

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ステップ 3.3.1

分配則を当てはめます。

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

ステップ 3.3.2

項を並べ替えます。

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

右辺を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ の因数を並べ替えます。

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

ステップ 5.2

方程式の両辺から $x y' \cos (x y)$ を引きます。

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

ステップ 5.3

$y'$ を $y' - x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

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ステップ 5.3.1

$y'$ を ${y'}^{1}$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

ステップ 5.3.2

$y'$ を $- x y' \cos (x y)$ で因数分解します。

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

ステップ 5.3.3

$y'$ を $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ で因数分解します。

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

ステップ 5.4

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ の各項を $1 - x \cos (x y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.4.1

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ の各項を $1 - x \cos (x y)$ で割ります。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 5.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.4.2.1

$1 - x \cos (x y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 5.4.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 5.4.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.4.3.1

公分母の分子をまとめます。

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$y \cos (x y) + 1 = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$y \cos (x y) = - 1$

ステップ 7.2.2

$y \cos (x y) = - 1$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$y \cos (x y) = - 1$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

ステップ 7.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

ステップ 7.2.2.2.1.2

$\cos (x y)$ を $1$ で割ります。

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

ステップ 7.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

ステップ 7.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

ステップ 7.2.4

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ の各項を $y$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.4.1

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ の各項を $y$ で割ります。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

ステップ 7.2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.4.2.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

ステップ 7.2.4.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

$(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

$y$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.1.1.1.1

共通因数を約分します。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

ステップ 8.1.1.1.2

式を書き換えます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

ステップ 8.1.1.2

交点 $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ 、 $(- \frac{1}{y}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、 $\arccos (- \frac{1}{y})$ は正のx軸と、原点から始まって $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ を通る半直線の間の角です。したがって、 $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ は $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ です。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

ステップ 8.1.1.3

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

ステップ 8.1.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = - \frac{1}{y}$ です。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.5

$- - \frac{1}{y}$ を掛けます。

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ステップ 8.1.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.5.2

$\frac{1}{y}$ に $1$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.6

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.7

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.8

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

ステップ 8.1.1.9

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

ステップ 8.1.1.10

$\frac{y - 1}{y}$ に $\frac{y + 1}{y}$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

ステップ 8.1.1.11

$y$ に $y$ をかけます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

ステップ 8.1.1.12

$\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ を ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ に書き換えます。

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ステップ 8.1.1.12.1

$(y - 1) (y + 1)$ から完全累乗 $1^{2}$ を因数分解します。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

ステップ 8.1.1.12.2

$y^{2}$ から完全累乗 $y^{2}$ を因数分解します。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

ステップ 8.1.1.12.3

分数 $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ を並べ替えます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

ステップ 8.1.1.13

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

ステップ 8.1.1.14

$\frac{1}{y}$ と $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ をまとめます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

ステップ 8.1.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

ステップ 8.2

方程式の各辺をグラフにします。解は交点のx値です。

$y \approx 1.94368519$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

ステップ 9.2

$\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ を簡約します。

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ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1.1

$1$ を $1.94368519$ で割ります。

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

ステップ 9.2.1.2

$- 1$ に $0.5144866$ をかけます。

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

ステップ 9.2.1.3

$\arccos (- 0.5144866)$ の値を求めます。

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

ステップ 9.2.2

$2.11120515$ を $1.94368519$ で割ります。

$x = 1.08618677$

ステップ 10

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(1.08618677, 1.94368519)$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例