微分積分例

$x^{2} + x y = 10$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

ステップ 2

方程式の左辺を微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{2} + x y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

ステップ 2.2

$\frac{d}{d x} [x y]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = x$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + x y' + y \cdot 1$

ステップ 2.2.4

$y$ に $1$ をかけます。

$2 x + x y' + y$

ステップ 2.3

項を並べ替えます。

$x y' + 2 x + y$

ステップ 3

$10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $10$ の微分係数は $0$ です。

$0$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$x y' + 2 x + y = 0$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

$y'$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

方程式の両辺から $2 x$ を引きます。

$x y' + y = - 2 x$

ステップ 5.1.2

方程式の両辺から $y$ を引きます。

$x y' = - 2 x - y$

ステップ 5.2

$x y' = - 2 x - y$ の各項を $x$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$x y' = - 2 x - y$ の各項を $x$ で割ります。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.2.1.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.3.1.1.2

$- 2$ を $1$ で割ります。

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

ステップ 5.2.3.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$- \frac{y}{x} = 2$

ステップ 7.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 7.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x, 1$

ステップ 7.2.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x$

ステップ 7.3

$- \frac{y}{x} = 2$ の各項に $x$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 7.3.1

$- \frac{y}{x} = 2$ の各項に $x$ を掛けます。

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

ステップ 7.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.3.2.1

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.3.2.1.1

$- \frac{y}{x}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

ステップ 7.3.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

ステップ 7.3.2.1.3

式を書き換えます。

$- y = 2 x$

ステップ 7.4

方程式を解きます。

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ステップ 7.4.1

方程式を $2 x = - y$ として書き換えます。

$2 x = - y$

ステップ 7.4.2

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.4.2.1

$2 x = - y$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- y}{2}$

ステップ 7.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.4.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{y}{2}$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ を簡約します。

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ステップ 8.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 8.1.1.1.1

積の法則を $- \frac{y}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

ステップ 8.1.1.1.2

積の法則を $\frac{y}{2}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

ステップ 8.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

ステップ 8.1.1.3

$\frac{y^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

ステップ 8.1.1.4

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

ステップ 8.1.1.5

$(- \frac{y}{2}) y$ を掛けます。

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ステップ 8.1.1.5.1

$y$ と $\frac{y}{2}$ をまとめます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

ステップ 8.1.1.5.2

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

ステップ 8.1.1.5.3

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

ステップ 8.1.1.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

ステップ 8.1.1.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

ステップ 8.1.2

$- \frac{y^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

ステップ 8.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 8.1.3.1

$\frac{y^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

ステップ 8.1.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

ステップ 8.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

ステップ 8.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 8.1.5.1

$y^{2}$ を $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

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ステップ 8.1.5.1.1

$1$ を掛けます。

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

ステップ 8.1.5.1.2

$y^{2}$ を $- y^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

ステップ 8.1.5.1.3

$y^{2}$ を $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ で因数分解します。

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

ステップ 8.1.5.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

ステップ 8.1.5.3

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

ステップ 8.1.6

式を簡約します。

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ステップ 8.1.6.1

$- 1$ を $y^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

ステップ 8.1.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

ステップ 8.2

方程式の両辺に $- 4$ を掛けます。

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3

方程式の両辺を簡約します。

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ステップ 8.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.1.1

$- \frac{y^{2}}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.2

$4$ を $- 4$ で因数分解します。

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.3

共通因数を約分します。

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.1.4

式を書き換えます。

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.1.1.2.2

$y^{2}$ に $1$ をかけます。

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

ステップ 8.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.2.1

$- 4$ に $10$ をかけます。

$y^{2} = - 40$

ステップ 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

ステップ 8.5

$\pm \sqrt{- 40}$ を簡約します。

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ステップ 8.5.1

$- 40$ を $- 1 (40)$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

ステップ 8.5.2

$\sqrt{- 1 (40)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ に書き換えます。

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

ステップ 8.5.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

ステップ 8.5.4

$40$ を $2^{2} \cdot 10$ に書き換えます。

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ステップ 8.5.4.1

$4$ を $40$ で因数分解します。

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

ステップ 8.5.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

ステップ 8.5.5

累乗根の下から項を取り出します。

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

ステップ 8.5.6

$2$ を $i$ の左に移動させます。

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

ステップ 8.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 8.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$y = 2 i \sqrt{10}$

ステップ 8.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$y = - 2 i \sqrt{10}$

ステップ 8.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

ステップ 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

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ステップ 9.1

括弧を削除します。

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 9.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

ステップ 9.2.2

$i \sqrt{10}$ を $1$ で割ります。

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

ステップ 10

$- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.1

$2$ を $- 2 i \sqrt{10}$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

ステップ 10.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.1.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

ステップ 10.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

ステップ 10.1.2.3

式を書き換えます。

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

ステップ 10.1.2.4

$- i \sqrt{10}$ を $1$ で割ります。

$x = - (- i \sqrt{10})$

ステップ 10.2

$- (- i \sqrt{10})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$x = 1 (i \sqrt{10})$

ステップ 10.2.2

$\sqrt{10}$ に $1$ をかけます。

$x = \sqrt{10} i$

ステップ 11

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例