微分積分例

$x^{6} = \cot (y)$

ステップ 1

方程式の両辺を微分します。

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

ステップ 2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{5}$

ステップ 3

方程式の右辺を微分します。

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ステップ 3.1

$f (x) = \cot (x)$ および $g (x) = y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $y$ とします。

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $\cot (u)$ の微分係数は $- \csc^{2} (u)$ です。

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $y$ で置き換えます。

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

ステップ 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ を $y'$ に書き換えます。

$- \csc^{2} (y) y'$

ステップ 4

左辺と右辺を等しくし、式を作り変えます。

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

ステップ 5

$y'$ について解きます。

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ステップ 5.1

方程式を $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ として書き換えます。

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

ステップ 5.2

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ の各項を $- \csc^{2} (y)$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.1

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ の各項を $- \csc^{2} (y)$ で割ります。

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

ステップ 5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

ステップ 5.2.2.2

$\csc^{2} (y)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

ステップ 5.2.2.2.2

$y'$ を $1$ で割ります。

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

ステップ 6

$y'$ を $\frac{d y}{d x}$ で置き換えます。

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

ステップ 7

$\frac{d y}{d x} = 0$ とし、次に $y$ について $x$ を解きます。

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ステップ 7.1

分子を0に等しくします。

$6 x^{5} = 0$

ステップ 7.2

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 7.2.1

$6 x^{5} = 0$ の各項を $6$ で割り、簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$6 x^{5} = 0$ の各項を $6$ で割ります。

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 7.2.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.2.1

$6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

ステップ 7.2.1.2.1.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$x^{5} = \frac{0}{6}$

ステップ 7.2.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 7.2.1.3.1

$0$ を $6$ で割ります。

$x^{5} = 0$

ステップ 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

ステップ 7.2.3

$\sqrt[5]{0}$ を簡約します。

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ステップ 7.2.3.1

$0$ を $0^{5}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

ステップ 7.2.3.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 8

$y$ について解きます。

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ステップ 8.1

方程式を $\cot (y) = 0^{6}$ として書き換えます。

$\cot (y) = 0^{6}$

ステップ 8.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\cot (y) = 0$

ステップ 8.3

方程式の両辺の逆余接をとり、余接の中から $y$ を取り出します。

$y = arccot (0)$

ステップ 8.4

右辺を簡約します。

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ステップ 8.4.1

$arccot (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$y = \frac{π}{2}$

ステップ 8.5

余接関数は、第一象限と第三象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を足し、第四象限で解を求めます。

$y = π + \frac{π}{2}$

ステップ 8.6

$π + \frac{π}{2}$ を簡約します。

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ステップ 8.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 8.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.6.2.1

$π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

ステップ 8.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

ステップ 8.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.6.3.1

$2$ を $π$ の左に移動させます。

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

ステップ 8.6.3.2

$2 π$ と $π$ をたし算します。

$y = \frac{3 π}{2}$

ステップ 8.7

$\cot (y)$ の周期を求めます。

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ステップ 8.7.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 8.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 8.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 8.7.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 8.8

$\cot (y)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 8.9

答えをまとめます。

$y = \frac{π}{2} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 9

$\frac{d y}{d x} = 0$ である点を求めます。

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例