微分積分例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5$ , $[- 3, 5]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [5]$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$3 x^{2} - 12 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12 x$ です。

$3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 x = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 x = 0$

ステップ 1.2.2

$3 x$ を $3 x^{2} - 12 x$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$3 x$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 x (x) - 12 x = 0$

ステップ 1.2.2.2

$3 x$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

ステップ 1.2.2.3

$3 x$ を $3 x (x) + 3 x (- 4)$ で因数分解します。

$3 x (x - 4) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 1.2.5

$x - 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 1.2.6

最終解は $3 x (x - 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 4$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 6 x^{2} + 5$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 0$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 6 {(0)}^{2} + 5$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 6 \cdot 0 + 5$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 6$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 5$

ステップ 1.4.1.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 5$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$0$ と $5$ をたし算します。

$5$

ステップ 1.4.2

$x = 4$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$4$ を $x$ に代入します。

${(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} + 5$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$4$ を $3$ 乗します。

$64 - 6 {(4)}^{2} + 5$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$64 - 6 \cdot 16 + 5$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 6$ に $16$ をかけます。

$64 - 96 + 5$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.2.1

$64$ から $96$ を引きます。

$- 32 + 5$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$- 32$ と $5$ をたし算します。

$- 27$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(0, 5), (4, - 27)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{3} - 6 {(- 3)}^{2} + 5$

ステップ 2.1.2

簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 - 6 {(- 3)}^{2} + 5$

ステップ 2.1.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 - 6 \cdot 9 + 5$

ステップ 2.1.2.1.3

$- 6$ に $9$ をかけます。

$- 27 - 54 + 5$

ステップ 2.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$- 27$ から $54$ を引きます。

$- 81 + 5$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 81$ と $5$ をたし算します。

$- 76$

ステップ 2.2

$x = 5$ での値を求めます。

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ステップ 2.2.1

$5$ を $x$ に代入します。

${(5)}^{3} - 6 {(5)}^{2} + 5$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

$5$ を $3$ 乗します。

$125 - 6 {(5)}^{2} + 5$

ステップ 2.2.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$125 - 6 \cdot 25 + 5$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 6$ に $25$ をかけます。

$125 - 150 + 5$

ステップ 2.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$125$ から $150$ を引きます。

$- 25 + 5$

ステップ 2.2.2.2.2

$- 25$ と $5$ をたし算します。

$- 20$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 3, - 76), (5, - 20)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(0, 5)$

最小値： $(- 3, - 76)$

ステップ 4

微分積分 例

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