微分積分例

$f (x) = x^{3} - 12 x$ , $(0, 4)$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12$ です。

$3 x^{2} - 12$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $12$ を足します。

$3 x^{2} = 12$

ステップ 1.2.3

$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$3 x^{2} = 12$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{12}{3}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$12$ を $3$ で割ります。

$x^{2} = 4$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{4}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{4}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

ステップ 1.2.5.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 2$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 2$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 2$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 2, - 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 12 x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 12 \cdot 2$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 12 \cdot 2$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 12$ に $2$ をかけます。

$8 - 24$

ステップ 1.4.1.2.2

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16$

ステップ 1.4.2

$x = - 2$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.2.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.2.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - 12 \cdot - 2$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$- 12$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 + 24$

ステップ 1.4.2.2.2

$- 8$ と $24$ をたし算します。

$16$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(2, - 16), (- 2, 16)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(2, - 16)$

ステップ 3

一次導関数検定を利用し、最大値または最小値になる点を判定します。

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ステップ 3.1

一次導関数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 3.2

一次導関数 $3 x^{2} - 12$ の区間 $(- \infty, - 2)$ から $- 4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.2.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} - 12$

ステップ 3.2.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 - 12$

ステップ 3.2.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (- 4) = 48 - 12$

ステップ 3.2.2.2

$48$ から $12$ を引きます。

$f' (- 4) = 36$

ステップ 3.2.2.3

最終的な答えは $36$ です。

$36$

ステップ 3.3

一次導関数 $3 x^{2} - 12$ の区間 $(- 2, 2)$ から $0$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12$

ステップ 3.3.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 - 12$

ステップ 3.3.2.2

$0$ から $12$ を引きます。

$f' (0) = - 12$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $- 12$ です。

$- 12$

ステップ 3.4

一次導関数 $3 x^{2} - 12$ の区間 $(2, \infty)$ から $4$ などの任意の数を代入し、結果が負か正か確認します。

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ステップ 3.4.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12$

ステップ 3.4.2

結果を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12$

ステップ 3.4.2.1.2

$3$ に $16$ をかけます。

$f' (4) = 48 - 12$

ステップ 3.4.2.2

$48$ から $12$ を引きます。

$f' (4) = 36$

ステップ 3.4.2.3

最終的な答えは $36$ です。

$36$

ステップ 3.5

$x = - 2$ の周囲で一次導関数の符号が正から負に変化したので、 $x = - 2$ は極大値です。

$x = - 2$ は極大値です

ステップ 3.6

$x = 2$ の周囲で一次導関数の符号が負から正に変化したので、 $x = 2$ は極小値です。

$x = 2$ は極小値です

ステップ 3.7

$f (x) = x^{3} - 12 x$ の極値です。

$x = - 2$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

$x = - 2$ は極大値です

$x = 2$ は極小値です

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

絶対最大値はありません

最小値： $(2, - 16)$

ステップ 5

微分積分 例

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