微分積分例

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{2}{3}}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.6.2

$2$ から $3$ を引きます。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.8

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.9

$3$ と $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ をまとめます。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.10

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.12

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.13

共通因数を約分します。

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ステップ 1.1.1.2.13.1

$3$ を $3 x^{\frac{1}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.13.2

共通因数を約分します。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.2.13.3

式を書き換えます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ です。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

ステップ 1.2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 1.2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

ステップ 1.2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 1.2.4.1

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ の各項に $x^{\frac{1}{3}}$ を掛けます。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1

$x^{\frac{1}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.4.2.1.2

式を書き換えます。

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

ステップ 1.2.5

方程式を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

方程式を $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ として書き換えます。

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

ステップ 1.2.5.2

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.5.2.2.2

$x^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

ステップ 1.2.5.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.3.1

$2$ を $2$ で割ります。

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

ステップ 1.2.5.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

ステップ 1.2.5.4

指数を簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 1.2.5.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

ステップ 1.2.5.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 1^{3}$

ステップ 1.2.5.4.1.1.2

簡約します。

$x = 1^{3}$

ステップ 1.2.5.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.4.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$x = 1$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 1.3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

ステップ 1.3.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

ステップ 1.3.2

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt[3]{x} = 0$

ステップ 1.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 1.3.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を3乗します。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 1.3.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{x}$ を $x^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.2.1.2

簡約します。

$x = 0^{3}$

ステップ 1.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.3.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$x = 0$

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 2 \cdot 1$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$3 - 2$

ステップ 1.4.1.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$1$

ステップ 1.4.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

$3 {(0)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$3 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.3.2

式を書き換えます。

$3 \cdot 0^{2} - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$3 \cdot 0 - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.5

$3$ に $0$ をかけます。

$0 - 2 \cdot 0$

ステップ 1.4.2.2.1.6

$- 2$ に $0$ をかけます。

$0 + 0$

ステップ 1.4.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(1, 1), (0, 0)$

ステップ 2

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 2.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 2.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

$3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.3.2

式を書き換えます。

$3 {(- 1)}^{2} - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.4

$- 1$ を $2$ 乗します。

$3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.5

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 2 \cdot - 1$

ステップ 2.1.2.1.6

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$3 + 2$

ステップ 2.1.2.2

$3$ と $2$ をたし算します。

$5$

ステップ 2.2

$x = 1$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

$3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.2

$3$ に $1$ をかけます。

$3 - 2 \cdot 1$

ステップ 2.2.2.1.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$3 - 2$

ステップ 2.2.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$1$

ステップ 2.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 5), (1, 1)$

ステップ 3

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- 1, 5)$

最小値： $(0, 0)$

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例