微分積分例

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ , $[- 2, 0]$

ステップ 1

臨界点を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.3.3

$- 8$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]$

ステップ 1.1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.4.1

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

ステップ 1.1.1.4.2

$3 x^{2} - 2 x - 8$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 1.1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 2 x - 8$ です。

$3 x^{2} - 2 x - 8$

ステップ 1.2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 1.2.2

群による因数分解。

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ステップ 1.2.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 1.2.2.1.1

$- 2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

$- 2$ を $4$ プラス $- 6$ に書き換える

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

ステップ 1.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 1.2.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

ステップ 1.2.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

ステップ 1.2.2.3

最大公約数 $3 x + 4$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.4

$3 x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.1

$3 x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 4 = 0$

ステップ 1.2.4.2

$x$ について $3 x + 4 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.4.2.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x = - 4$

ステップ 1.2.4.2.2

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.1

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{3}$

ステップ 1.2.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 1.2.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 1.2.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 1.2.6

最終解は $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{4}{3}, 2$

ステップ 1.3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 1.3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 1.4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ の値を求めます。

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ステップ 1.4.1

$x = - \frac{4}{3}$ での値を求めます。

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ステップ 1.4.1.1

$- \frac{4}{3}$ を $x$ に代入します。

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2

簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.3

$4$ を $3$ 乗します。

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.4

$3$ を $3$ 乗します。

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.5

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 1.4.1.2.1.5.1

積の法則を $- \frac{4}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.5.2

積の法則を $\frac{4}{3}$ に当てはめます。

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6

指数を足して $- 1$ に ${(- 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.1.6.1

${(- 1)}^{2}$ を移動させます。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6.2

${(- 1)}^{2}$ に $- 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.1.6.2.1

$- 1$ を $1$ 乗します。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.6.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.7

$- 1$ を $3$ 乗します。

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.8

$4$ を $2$ 乗します。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.9

$3$ を $2$ 乗します。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.10

$- 8 (- \frac{4}{3})$ を掛けます。

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ステップ 1.4.1.2.1.10.1

$- 1$ に $- 8$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.10.2

$8$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 4$

ステップ 1.4.1.2.1.10.3

$8$ に $4$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 4$

ステップ 1.4.1.2.2

公分母を求めます。

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ステップ 1.4.1.2.2.1

$\frac{16}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 4$

ステップ 1.4.1.2.2.2

$\frac{16}{9}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 4$

ステップ 1.4.1.2.2.3

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 4$

ステップ 1.4.1.2.2.4

$\frac{32}{3}$ に $\frac{9}{9}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 4$

ステップ 1.4.1.2.2.5

$4$ を分母 $1$ をもつ分数で書きます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1}$

ステップ 1.4.1.2.2.6

$\frac{4}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.2.7

$\frac{4}{1}$ に $\frac{27}{27}$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.2.8

$9 \cdot 3$ の因数を並べ替えます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.2.9

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.2.10

$3$ に $9$ をかけます。

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.4.1

$- 16$ に $3$ をかけます。

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.4.2

$32$ に $9$ をかけます。

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 4 \cdot 27}{27}$

ステップ 1.4.1.2.4.3

$4$ に $27$ をかけます。

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 108}{27}$

ステップ 1.4.1.2.5

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.1.2.5.1

$- 64$ から $48$ を引きます。

$\frac{- 112 + 288 + 108}{27}$

ステップ 1.4.1.2.5.2

$- 112$ と $288$ をたし算します。

$\frac{176 + 108}{27}$

ステップ 1.4.1.2.5.3

$176$ と $108$ をたし算します。

$\frac{284}{27}$

ステップ 1.4.2

$x = 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 1.4.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 4$

ステップ 1.4.2.2.1.4

$- 8$ に $2$ をかけます。

$8 - 4 - 16 + 4$

ステップ 1.4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.4.2.2.2.1

$8$ から $4$ を引きます。

$4 - 16 + 4$

ステップ 1.4.2.2.2.2

$4$ から $16$ を引きます。

$- 12 + 4$

ステップ 1.4.2.2.2.3

$- 12$ と $4$ をたし算します。

$- 8$

ステップ 1.4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27}), (2, - 8)$

ステップ 2

区間上にない点を除外します。

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

ステップ 3

含まれる端点における値を求めます。

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ステップ 3.1

$x = - 2$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

$- 2$ を $x$ に代入します。

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

ステップ 3.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

ステップ 3.1.2.1.2

$- 2$ を $2$ 乗します。

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

ステップ 3.1.2.1.3

$- 1$ に $4$ をかけます。

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 8$ に $- 2$ をかけます。

$- 8 - 4 + 16 + 4$

ステップ 3.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$- 8$ から $4$ を引きます。

$- 12 + 16 + 4$

ステップ 3.1.2.2.2

$- 12$ と $16$ をたし算します。

$4 + 4$

ステップ 3.1.2.2.3

$4$ と $4$ をたし算します。

$8$

ステップ 3.2

$x = 0$ での値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$0$ を $x$ に代入します。

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

ステップ 3.2.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

ステップ 3.2.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 4$

ステップ 3.2.2.1.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 4$

ステップ 3.2.2.1.4

$- 8$ に $0$ をかけます。

$0 + 0 + 0 + 4$

ステップ 3.2.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 0 + 4$

ステップ 3.2.2.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$0 + 4$

ステップ 3.2.2.2.3

$0$ と $4$ をたし算します。

$4$

ステップ 3.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 2, 8), (0, 4)$

ステップ 4

$x$ の各値に対して求めた $f (x)$ の値を比較し、与えられた区間での最大限と最小限を決定します。最大限は最も高い $f (x)$ の値で発生し、最小値は最も低い $f (x)$ の値で発生します。

最大値： $(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

最小値： $(0, 4)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例