微分積分例

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x^{2} - 20 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 20 x)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 20 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 x$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 20$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 20$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 16 x - 20$ です。

$3 x^{2} - 16 x - 20$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 16 x - 20 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = 3$ 、 $b = - 16$ 、および $c = - 20$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 20)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

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ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.2.2

$- 12$ に $- 20$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.3

$256$ と $240$ をたし算します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.4

$496$ を $4^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

$16$ を $496$ で因数分解します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 2.4.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.2.2

$- 12$ に $- 20$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.3

$256$ と $240$ をたし算します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.4

$496$ を $4^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.1

$16$ を $496$ で因数分解します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 2.5.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.6.1.1

$- 16$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 3 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot - 20$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 12 \cdot - 20}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.2.2

$- 12$ に $- 20$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.3

$256$ と $240$ をたし算します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4

$496$ を $4^{2} \cdot 31$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$16$ を $496$ で因数分解します。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{16 (31)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{16 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{2 \cdot 3}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$

ステップ 2.6.3

$\frac{16 \pm 4 \sqrt{31}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$ です。

$\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}) \cup (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2.0451763$ で置換えます。

$f' (- 2.0451763) = 3 {(- 2.0451763)}^{2} - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 2.0451763$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.0451763) = 3 \cdot 4.18274609 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

ステップ 5.2.1.2

$3$ に $4.18274609$ をかけます。

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 - 16 \cdot - 2.0451763 - 20$

ステップ 5.2.1.3

$- 16$ に $- 2.0451763$ をかけます。

$f' (- 2.0451763) = 12.54823829 + 32.7228208 - 20$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$12.54823829$ と $32.7228208$ をたし算します。

$f' (- 2.0451763) = 45.27105909 - 20$

ステップ 5.2.2.2

$45.27105909$ から $20$ を引きます。

$f' (- 2.0451763) = 25.27105909$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $25.27105909$ です。

$25.27105909$

ステップ 5.3

$x = - 2.0451763$ で微分係数は $25.27105909$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3})$ で増加

ステップ 6

区間 $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.6666666$ で置換えます。

$f' (2.6666666) = 3 {(2.6666666)}^{2} - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2.6666666$ を $2$ 乗します。

$f' (2.6666666) = 3 \cdot 7.11111075 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $7.11111075$ をかけます。

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 16 \cdot 2.6666666 - 20$

ステップ 6.2.1.3

$- 16$ に $2.6666666$ をかけます。

$f' (2.6666666) = 21.33333226 - 42.6666656 - 20$

ステップ 6.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$21.33333226$ から $42.6666656$ を引きます。

$f' (2.6666666) = - 21.\overline{3} - 20$

ステップ 6.2.2.2

$- 21.\overline{3}$ から $20$ を引きます。

$f' (2.6666666) = - 41.\overline{3}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 41.\overline{3}$ です。

$- 41.\overline{3}$

ステップ 6.3

$x = 2.6666666$ で微分係数は $- 41.\overline{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1.0451763, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $7.3785095$ で置換えます。

$f' (7.3785095) = 3 {(7.3785095)}^{2} - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$7.3785095$ を $2$ 乗します。

$f' (7.3785095) = 3 \cdot 54.44240244 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $54.44240244$ をかけます。

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 16 \cdot 7.3785095 - 20$

ステップ 7.2.1.3

$- 16$ に $7.3785095$ をかけます。

$f' (7.3785095) = 163.32720732 - 118.056152 - 20$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$163.32720732$ から $118.056152$ を引きます。

$f' (7.3785095) = 45.27105532 - 20$

ステップ 7.2.2.2

$45.27105532$ から $20$ を引きます。

$f' (7.3785095) = 25.27105532$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $25.27105532$ です。

$25.27105532$

ステップ 7.3

$x = 7.3785095$ で微分係数は $25.27105532$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, \frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}), (\frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3}, \infty)$ で増加

$(\frac{8 - 2 \sqrt{31}}{3}, \frac{8 + 2 \sqrt{31}}{3})$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例