微分積分例

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 18 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} - 18 (2 x)$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $4 x^{3} - 36 x$ です。

$4 x^{3} - 36 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $4 x^{3} - 36 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$4 x^{3} - 36 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$4 x$ を $4 x^{3} - 36 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$4 x$ を $4 x^{3}$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

ステップ 2.2.1.2

$4 x$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

ステップ 2.2.1.3

$4 x$ を $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ で因数分解します。

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

ステップ 2.2.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

ステップ 2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 3$ です。

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

ステップ 2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

$x - 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 3$ が $0$ に等しいとします。

$x - 3 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $3$ を足します。

$x = 3$

ステップ 2.7

最終解は $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3, 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 3, 3$ です。

$0, - 3, 3$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = 4 {(- 4)}^{3} - 36 \cdot - 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $3$ 乗します。

$f' (- 4) = 4 \cdot - 64 - 36 \cdot - 4$

ステップ 5.2.1.2

$4$ に $- 64$ をかけます。

$f' (- 4) = - 256 - 36 \cdot - 4$

ステップ 5.2.1.3

$- 36$ に $- 4$ をかけます。

$f' (- 4) = - 256 + 144$

ステップ 5.2.2

$- 256$ と $144$ をたし算します。

$f' (- 4) = - 112$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 112$ です。

$- 112$

ステップ 5.3

$x = - 4$ で微分係数は $- 112$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 3, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 6.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.1.2

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.3

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{2^{3}}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (- \frac{27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.5

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.5.1

$- \frac{27}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{8}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.5.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 (2)}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{3}{2}) = 4 (\frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (- \frac{3}{2})$

ステップ 6.2.1.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1.7.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 36 (\frac{- 3}{2})$

ステップ 6.2.1.7.2

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{- 3}{2})$

ステップ 6.2.1.7.3

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{- 3}{2}))$

ステップ 6.2.1.7.4

式を書き換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} - 18 \cdot - 3$

ステップ 6.2.1.8

$- 18$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54$

ステップ 6.2.2

$54$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + 54 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 6.2.3

$54$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{27}{2} + \frac{54 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 54 \cdot 2}{2}$

ステップ 6.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.5.1

$54$ に $2$ をかけます。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 27 + 108}{2}$

ステップ 6.2.5.2

$- 27$ と $108$ をたし算します。

$f' (- \frac{3}{2}) = \frac{81}{2}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $\frac{81}{2}$ です。

$\frac{81}{2}$

ステップ 6.3

$x = - \frac{3}{2}$ で微分係数は $\frac{81}{2}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 3, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 3, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 {(\frac{3}{2})}^{3} - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{3^{3}}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{2^{3}}) - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.3

$2$ を $3$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{8}) - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.1.4.1

$4$ を $8$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 (2)}) - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = 4 (\frac{27}{4 \cdot 2}) - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 36 (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.5.1

$2$ を $- 36$ で因数分解します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 (- 18) (\frac{3}{2})$

ステップ 7.2.1.5.2

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + 2 \cdot (- 18 (\frac{3}{2}))$

ステップ 7.2.1.5.3

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 18 \cdot 3$

ステップ 7.2.1.6

$- 18$ に $3$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54$

ステップ 7.2.2

$- 54$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} - 54 \cdot \frac{2}{2}$

ステップ 7.2.3

$- 54$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27}{2} + \frac{- 54 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 54 \cdot 2}{2}$

ステップ 7.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.2.5.1

$- 54$ に $2$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{27 - 108}{2}$

ステップ 7.2.5.2

$27$ から $108$ を引きます。

$f' (\frac{3}{2}) = \frac{- 81}{2}$

ステップ 7.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{81}{2}$

ステップ 7.2.7

最終的な答えは $- \frac{81}{2}$ です。

$- \frac{81}{2}$

ステップ 7.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $- \frac{81}{2}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 8

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

指数を足して $4$ に ${(4)}^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

$4$ に ${(4)}^{3}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 36 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.1.2

$1$ と $3$ をたし算します。

$f' (4) = 4^{4} - 36 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.2

$4$ を $4$ 乗します。

$f' (4) = 256 - 36 \cdot 4$

ステップ 8.2.1.3

$- 36$ に $4$ をかけます。

$f' (4) = 256 - 144$

ステップ 8.2.2

$256$ から $144$ を引きます。

$f' (4) = 112$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $112$ です。

$112$

ステップ 8.3

$x = 4$ で微分係数は $112$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 3, 0), (3, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 3), (0, 3)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例