微分積分例

$f (x) = x + \frac{9}{x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{9}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{9}{x})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{9}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{9}{x}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + 9 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 1.1.2.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + 9 (- x^{- 2})$

ステップ 1.1.2.4

$- 1$ に $9$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 9 x^{- 2}$

ステップ 1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 1 - 9 \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.1.1

$- 9$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = 1 + \frac{- 9}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.1.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = 1 - \frac{9}{x^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{9}{x^{2}} + 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{9}{x^{2}} + 1$ です。

$- \frac{9}{x^{2}} + 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{9}{x^{2}} + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$

ステップ 2.3

方程式の項の最小公分母を求めます。

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ステップ 2.3.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$x^{2}, 1$

ステップ 2.3.2

1と任意の式の最小公倍数はその式です。

$x^{2}$

ステップ 2.4

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛け、分数を消去します。

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ステップ 2.4.1

$- \frac{9}{x^{2}} = - 1$ の各項に $x^{2}$ を掛けます。

$- \frac{9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 2.4.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.4.2.1

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.4.2.1.1

$- \frac{9}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{- 9}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

ステップ 2.4.2.1.3

式を書き換えます。

$- 9 = - x^{2}$

ステップ 2.5

方程式を解きます。

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ステップ 2.5.1

方程式を $- x^{2} = - 9$ として書き換えます。

$- x^{2} = - 9$

ステップ 2.5.2

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$- x^{2} = - 9$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.5.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

ステップ 2.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.3.1

$- 9$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 9$

ステップ 2.5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

ステップ 2.5.4

$\pm \sqrt{9}$ を簡約します。

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ステップ 2.5.4.1

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

ステップ 2.5.4.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 3$

ステップ 2.5.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3$

ステップ 2.5.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3$

ステップ 2.5.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3, - 3$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $3, - 3$ です。

$3, - 3$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{9}{x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{9}{{(- 4)}^{2}} + 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + 1$

ステップ 6.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (- 4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

ステップ 6.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (- 4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

ステップ 6.2.4

$- 9$ と $16$ をたし算します。

$f' (- 4) = \frac{7}{16}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $\frac{7}{16}$ です。

$\frac{7}{16}$

ステップ 6.3

$x = - 4$ で微分係数は $\frac{7}{16}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 3)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 3)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 3, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- \frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- \frac{3}{2})}^{2}} + 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

ステップ 7.2.1.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 {(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

ステップ 7.2.1.1.3

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})} + 1$

ステップ 7.2.1.1.4

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{2^{2}})} + 1$

ステップ 7.2.1.1.5

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{1 (\frac{9}{4})} + 1$

ステップ 7.2.1.1.6

$\frac{9}{4}$ に $1$ をかけます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

ステップ 7.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

ステップ 7.2.1.3

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

ステップ 7.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 4 + 1$

ステップ 7.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (- \frac{3}{2}) = - 3$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 7.3

$x = - \frac{3}{2}$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(- 3, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 3, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, 3)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $\frac{3}{2}$ で置換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{{(\frac{3}{2})}^{2}} + 1$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1.1

積の法則を $\frac{3}{2}$ に当てはめます。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{3^{2}}{2^{2}}} + 1$

ステップ 8.2.1.1.2

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{2^{2}}} + 1$

ステップ 8.2.1.1.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (\frac{3}{2}) = - \frac{9}{\frac{9}{4}} + 1$

ステップ 8.2.1.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

ステップ 8.2.1.3

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.3.1

共通因数を約分します。

$f' (\frac{3}{2}) = - (9 (\frac{4}{9})) + 1$

ステップ 8.2.1.3.2

式を書き換えます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 1 \cdot 4 + 1$

ステップ 8.2.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f' (\frac{3}{2}) = - 4 + 1$

ステップ 8.2.2

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f' (\frac{3}{2}) = - 3$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $- 3$ です。

$- 3$

ステップ 8.3

$x = \frac{3}{2}$ で微分係数は $- 3$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 3)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 3)$ で減少

ステップ 9

区間 $(3, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f' (4) = - \frac{9}{{(4)}^{2}} + 1$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f' (4) = - \frac{9}{16} + 1$

ステップ 9.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (4) = - \frac{9}{16} + \frac{16}{16}$

ステップ 9.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (4) = \frac{- 9 + 16}{16}$

ステップ 9.2.2.3

$- 9$ と $16$ をたし算します。

$f' (4) = \frac{7}{16}$

ステップ 9.2.3

最終的な答えは $\frac{7}{16}$ です。

$\frac{7}{16}$

ステップ 9.3

$x = 4$ で微分係数は $\frac{7}{16}$ です。これは正の値なので、関数は $(3, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(3, \infty)$ で増加

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 3), (3, \infty)$ で増加

$(- 3, 0), (0, 3)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例