微分積分例

$f (x) = x - x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 1 - \frac{d}{d x} x^{3}$

ステップ 1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 - (3 x^{2})$

ステップ 1.1.2.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 1$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 1$ です。

$- 3 x^{2} + 1$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 3 x^{2} = - 1$

ステップ 2.3

$- 3 x^{2} = - 1$ の各項を $- 3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

$- 3 x^{2} = - 1$ の各項を $- 3$ で割ります。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$- 3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$x^{2} = \frac{1}{3}$

ステップ 2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

ステップ 2.5

$\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$\sqrt{\frac{1}{3}}$ を $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.2

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.3

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 2.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 2.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 2.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 2.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{3}, - \frac{\sqrt{3}}{3}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.57735026$ で置換えます。

$f' (- 1.57735026) = - 3 {(- 1.57735026)}^{2} + 1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.57735026$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $2.48803384$ をかけます。

$f' (- 1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

ステップ 5.2.2

$- 7.46410152$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 1.57735026) = - 6.46410152$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6.46410152$ です。

$- 6.46410152$

ステップ 5.3

$x = - 1.57735026$ で微分係数は $- 6.46410152$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = - 3 {(0)}^{2} + 1$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f' (0) = - 3 \cdot 0 + 1$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = 0 + 1$

ステップ 6.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(- 0.57735026, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.57735026$ で置換えます。

$f' (1.57735026) = - 3 {(1.57735026)}^{2} + 1$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$1.57735026$ を $2$ 乗します。

$f' (1.57735026) = - 3 \cdot 2.48803384 + 1$

ステップ 7.2.1.2

$- 3$ に $2.48803384$ をかけます。

$f' (1.57735026) = - 7.46410152 + 1$

ステップ 7.2.2

$- 7.46410152$ と $1$ をたし算します。

$f' (1.57735026) = - 6.46410152$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 6.46410152$ です。

$- 6.46410152$

ステップ 7.3

$x = 1.57735026$ で微分係数は $- 6.46410152$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$ で増加

$(- \infty, - \frac{\sqrt{3}}{3}), (\frac{\sqrt{3}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例