微分積分例

$f (x) = x \sqrt{x + 2}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{\frac{1}{2}}) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 2) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.9

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (2)) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.11

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0) + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.12

式を簡約します。

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ステップ 1.1.12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.12.2

$\frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.14

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.15

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.16

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.17

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18

指数を足して ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.18.1

${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} {(x + 2)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + {(x + 2)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.18.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.19

${(x + 2)}^{1} \cdot 2$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{x + (x + 2) \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.20

$2$ を $x + 2$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{x + 2 \cdot (x + 2)}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.21.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 2 \cdot 2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.21.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 2 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.21.2.2

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x + 4}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$3 x + 4 = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$3 x = - 4$

ステップ 2.3.2

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$3 x = - 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 4}{3}$

ステップ 2.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{4}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{4}{3}$ です。

$- \frac{4}{3}$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$

ステップ 4.2

$\frac{3 x + 4}{2 \sqrt{x + 2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (x + 2) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

$4$ に $2$ をかけます。

$4 x + 8 = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$4 x + 8 = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$4 x = - 8$

ステップ 4.3.3.2

$4 x = - 8$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$4 x = - 8$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{4}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.3.1

$- 8$ を $4$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 4.4

$\sqrt{x + 2}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 2 < 0$

ステップ 4.5

不等式の両辺から $2$ を引きます。

$x < - 2$

ステップ 4.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - \frac{4}{3}) \cup (- \frac{4}{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f' (- 3) = \frac{3 (- 3) + 4}{2 {((- 3) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$3$ に $- 3$ をかけます。

$f' (- 3) = \frac{- 9 + 4}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 9$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 3 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 3$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2.2

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ に書き換えます。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 6.2.2.3

指数を求めます。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 6.2.2.4

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i}$

ステップ 6.2.3

$\frac{- 5}{2 i}$ の分子と分母に $2 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$f' (- 3) = \frac{- 5}{2 i} \cdot \frac{i}{i}$

ステップ 6.2.4

掛け算します。

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ステップ 6.2.4.1

まとめる。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i i}$

ステップ 6.2.4.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.4.2.1

括弧を付けます。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.4.2.2

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.4.2.3

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 (i i)}$

ステップ 6.2.4.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{1 + 1}}$

ステップ 6.2.4.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 i^{2}}$

ステップ 6.2.4.2.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{2 \cdot - 1}$

ステップ 6.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 3) = \frac{- 5 i}{- 2}$

ステップ 6.2.6

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f' (- 3) = \frac{5 i}{2}$

ステップ 6.2.7

最終的な答えは $\frac{5 i}{2}$ です。

$\frac{5 i}{2}$

ステップ 6.3

$x = - 3$ で微分係数は $\frac{5 i}{2}$ です。これは虚数を含むので、関数は $(- \infty, - 2)$ 上にありません。

$f' (x)$ が虚数なので、関数は $(- \infty, - 2)$ 上で実数ではありません。

ステップ 7

区間 $(- 2, - \frac{4}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1.6666667$ で置換えます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{3 (- 1.6666667) + 4}{2 {((- 1.6666667) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3$ に $- 1.6666667$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 5.0000001 + 4}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 5.0000001$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 {(- 1.6666667 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$- 1.6666667$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.3333333}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.2

$0.3333333$ を ${0.57735024}^{2}$ に書き換えます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {({0.57735024}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot {0.57735024}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 7.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

ステップ 7.2.2.5

指数を求めます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{2 \cdot 0.57735024}$

ステップ 7.2.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$2$ に $0.57735024$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = \frac{- 1.0000001}{1.15470048}$

ステップ 7.2.3.2

$- 1.0000001$ を $1.15470048$ で割ります。

$f' (- 1.6666667) = - 0.86602553$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $- 0.86602553$ です。

$- 0.86602553$

ステップ 7.3

$x = - 1.6666667$ で微分係数は $- 0.86602553$ です。これは負の値なので、関数は $(- 2, - \frac{4}{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 2, - \frac{4}{3})$ で減少

ステップ 8

区間 $(- \frac{4}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $- 0.3333334$ で置換えます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{3 (- 0.3333334) + 4}{2 {((- 0.3333334) + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3$ に $- 0.3333334$ をかけます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{- 1.0000002 + 4}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 1.0000002$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 {(- 0.3333334 + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$- 0.3333334$ と $2$ をたし算します。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.6666666}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.2

$1.6666666$ を ${1.29099442}^{2}$ に書き換えます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {({1.29099442}^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 8.2.2.3

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 8.2.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 8.2.2.4.1

共通因数を約分します。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot {1.29099442}^{2 (\frac{1}{2})}}$

ステップ 8.2.2.4.2

式を書き換えます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

ステップ 8.2.2.5

指数を求めます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2 \cdot 1.29099442}$

ステップ 8.2.3

式を簡約します。

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ステップ 8.2.3.1

$2$ に $1.29099442$ をかけます。

$f' (- 0.3333334) = \frac{2.9999998}{2.58198884}$

ステップ 8.2.3.2

$2.9999998$ を $2.58198884$ で割ります。

$f' (- 0.3333334) = 1.16189494$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $1.16189494$ です。

$1.16189494$

ステップ 8.3

$x = - 0.3333334$ で微分係数は $1.16189494$ です。これは正の値なので、関数は $(- \frac{4}{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \frac{4}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \frac{4}{3}, \infty)$ で増加

$(- 2, - \frac{4}{3})$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例