微分積分例

$f (x) = 6 x^{4} + 32 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $6 x^{4} + 32 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{4}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $6$ をかけます。

$f' (x) = 24 x^{3} + \frac{d}{d x} (32 x^{3})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [32 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$32$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $32 x^{3}$ の微分係数は $32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 \frac{d}{d x} (x^{3})$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 24 x^{3} + 32 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $32$ をかけます。

$f' (x) = 24 x^{3} + 96 x^{2}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $24 x^{3} + 96 x^{2}$ です。

$24 x^{3} + 96 x^{2}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{3} + 96 x^{2} = 0$

ステップ 2.2

$24 x^{2}$ を $24 x^{3} + 96 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$24 x^{2}$ を $24 x^{3}$ で因数分解します。

$24 x^{2} (x) + 96 x^{2} = 0$

ステップ 2.2.2

$24 x^{2}$ を $96 x^{2}$ で因数分解します。

$24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4) = 0$

ステップ 2.2.3

$24 x^{2}$ を $24 x^{2} (x) + 24 x^{2} (4)$ で因数分解します。

$24 x^{2} (x + 4) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.4

$x^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{2}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\pm \sqrt{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

ステップ 2.4.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.4.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.6

最終解は $24 x^{2} (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 4$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, - 4$ です。

$0, - 4$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = 24 {(- 5)}^{3} + 96 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 5$ を $3$ 乗します。

$f' (- 5) = 24 \cdot - 125 + 96 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.2

$24$ に $- 125$ をかけます。

$f' (- 5) = - 3000 + 96 {(- 5)}^{2}$

ステップ 5.2.1.3

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = - 3000 + 96 \cdot 25$

ステップ 5.2.1.4

$96$ に $25$ をかけます。

$f' (- 5) = - 3000 + 2400$

ステップ 5.2.2

$- 3000$ と $2400$ をたし算します。

$f' (- 5) = - 600$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 600$ です。

$- 600$

ステップ 5.3

$x = - 5$ で微分係数は $- 600$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 4, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = 24 {(- 2)}^{3} + 96 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f' (- 2) = 24 \cdot - 8 + 96 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$24$ に $- 8$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 + 96 {(- 2)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - 192 + 96 \cdot 4$

ステップ 6.2.1.4

$96$ に $4$ をかけます。

$f' (- 2) = - 192 + 384$

ステップ 6.2.2

$- 192$ と $384$ をたし算します。

$f' (- 2) = 192$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $192$ です。

$192$

ステップ 6.3

$x = - 2$ で微分係数は $192$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, 0)$ で増加

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = 24 {(1)}^{3} + 96 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 24 \cdot 1 + 96 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.2

$24$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 24 + 96 {(1)}^{2}$

ステップ 7.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = 24 + 96 \cdot 1$

ステップ 7.2.1.4

$96$ に $1$ をかけます。

$f' (1) = 24 + 96$

ステップ 7.2.2

$24$ と $96$ をたし算します。

$f' (1) = 120$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $120$ です。

$120$

ステップ 7.3

$x = 1$ で微分係数は $120$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- 4, 0), (0, \infty)$ で増加

$(- \infty, - 4)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例