微分積分例

$f (x) = 3 x^{2} - 8 x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{2} - 8 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{3}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$6 x - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x - 8 (3 x^{2})$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 8$ をかけます。

$6 x - 24 x^{2}$

ステップ 1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 24 x^{2} + 6 x$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 24 x^{2} + 6 x$ です。

$- 24 x^{2} + 6 x$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 24 x^{2} + 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 24 x^{2} + 6 x = 0$

ステップ 2.2

$- 6 x$ を $- 24 x^{2} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$- 6 x$ を $- 24 x^{2}$ で因数分解します。

$- 6 x (4 x) + 6 x = 0$

ステップ 2.2.2

$- 6 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$- 6 x (4 x) - 6 x \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

$- 6 x$ を $- 6 x (4 x) - 6 x (- 1)$ で因数分解します。

$- 6 x (4 x - 1) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$4 x - 1 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$4 x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$4 x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$4 x - 1 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $4 x - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$4 x = 1$

ステップ 2.5.2.2

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$4 x = 1$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{4}$

ステップ 2.6

最終解は $- 6 x (4 x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{1}{4}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0, \frac{1}{4}$ です。

$0, \frac{1}{4}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{4}) \cup (\frac{1}{4}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = - 24 {(- 1)}^{2} + 6 (- 1)$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = - 24 \cdot 1 + 6 (- 1)$

ステップ 5.2.1.2

$- 24$ に $1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 24 + 6 (- 1)$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$f' (- 1) = - 24 - 6$

ステップ 5.2.2

$- 24$ から $6$ を引きます。

$f' (- 1) = - 30$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 30$ です。

$- 30$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- 30$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \frac{1}{4})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.125$ で置換えます。

$f' (0.125) = - 24 {(0.125)}^{2} + 6 (0.125)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0.125$ を $2$ 乗します。

$f' (0.125) = - 24 \cdot 0.015625 + 6 (0.125)$

ステップ 6.2.1.2

$- 24$ に $0.015625$ をかけます。

$f' (0.125) = - 0.375 + 6 (0.125)$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $0.125$ をかけます。

$f' (0.125) = - 0.375 + 0.75$

ステップ 6.2.2

$- 0.375$ と $0.75$ をたし算します。

$f' (0.125) = 0.375$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $0.375$ です。

$0.375$

ステップ 6.3

$x = 0.125$ で微分係数は $0.375$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \frac{1}{4})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \frac{1}{4})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{1}{4}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $1.25$ で置換えます。

$f' (1.25) = - 24 {(1.25)}^{2} + 6 (1.25)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$1.25$ を $2$ 乗します。

$f' (1.25) = - 24 \cdot 1.5625 + 6 (1.25)$

ステップ 7.2.1.2

$- 24$ に $1.5625$ をかけます。

$f' (1.25) = - 37.5 + 6 (1.25)$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $1.25$ をかけます。

$f' (1.25) = - 37.5 + 7.5$

ステップ 7.2.2

$- 37.5$ と $7.5$ をたし算します。

$f' (1.25) = - 30$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 30$ です。

$- 30$

ステップ 7.3

$x = 1.25$ で微分係数は $- 30$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{1}{4}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{1}{4}, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \frac{1}{4})$ で増加

$(- \infty, 0), (\frac{1}{4}, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例