微分積分例

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 16}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 16}]$ です。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 16})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} - 16$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.2

$2$ を $x^{2} - 16$ の左に移動させます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.3

総和則では、 $x^{2} - 16$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.5

$- 16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 16$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.6

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}})$

ステップ 1.1.7

$2$ と $\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.1.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 16 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.3

$2$ に $- 16$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 32 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.4

$- 32$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.1.5

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.2

$4 x^{3} - 64 x - 4 x^{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.4.2.1

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 64 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.4.2.2

$- 64 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

ステップ 1.1.8.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.6.1

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.8.6.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 4$ です。

$f' (x) = - \frac{64 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

ステップ 1.1.8.6.3

積の法則を $(x + 4) (x - 4)$ に当てはめます。

$f' (x) = - \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$64 x = 0$

ステップ 2.3

$64 x = 0$ の各項を $64$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$64 x = 0$ の各項を $64$ で割ります。

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1

$64$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{64 x}{64} = \frac{0}{64}$

ステップ 2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{64}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$0$ を $64$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{64 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

${(x + 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

${(x + 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2.2

$x$ について ${(x + 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.2.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 4.2.2.2.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 4.2.3

${(x - 4)}^{2}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.1

${(x - 4)}^{2}$ が $0$ に等しいとします。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3.2

$x$ について ${(x - 4)}^{2} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.3.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.2.3.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 4.2.4

最終解は ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 4, 4$

ステップ 4.3

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x = - 4, x = 4$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 5$ で置換えます。

$f' (- 5) = - \frac{64 (- 5)}{{((- 5) + 4)}^{2} {((- 5) - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$64$ に $- 5$ をかけます。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 5 + 4)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 5$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 5 - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 5$ から $4$ を引きます。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{{(- 1)}^{2} {(- 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 {(- 9)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.4

$- 9$ を $2$ 乗します。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{1 \cdot 81}$

ステップ 6.2.2.5

$81$ に $1$ をかけます。

$f' (- 5) = - \frac{- 320}{81}$

ステップ 6.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 5) = \frac{320}{81}$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $\frac{320}{81}$ です。

$\frac{320}{81}$

ステップ 6.3

$x = - 5$ で微分係数は $\frac{320}{81}$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - 4)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 4)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 4, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f' (- 2) = - \frac{64 (- 2)}{{((- 2) + 4)}^{2} {((- 2) - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$64$ に $- 2$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{{(- 2 + 4)}^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 2$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 2 - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$- 2$ から $4$ を引きます。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{2^{2} {(- 6)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

$2$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 {(- 6)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.4

$- 6$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{4 \cdot 36}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$4$ に $36$ をかけます。

$f' (- 2) = - \frac{- 128}{144}$

ステップ 7.2.3.2

$- 128$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

$16$ を $- 128$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{16 (- 8)}{144}$

ステップ 7.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.2.1

$16$ を $144$ で因数分解します。

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (- 2) = - \frac{16 \cdot - 8}{16 \cdot 9}$

ステップ 7.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (- 2) = - \frac{- 8}{9}$

ステップ 7.2.3.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 2) = \frac{8}{9}$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $\frac{8}{9}$ です。

$\frac{8}{9}$

ステップ 7.3

$x = - 2$ で微分係数は $\frac{8}{9}$ です。これは正の値なので、関数は $(- 4, 0)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- 4, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = - \frac{64 (2)}{{((2) + 4)}^{2} {((2) - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$64$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{128}{{(2 + 4)}^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$2$ と $4$ をたし算します。

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(2 - 4)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$2$ から $4$ を引きます。

$f' (2) = - \frac{128}{6^{2} {(- 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$6$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - \frac{128}{36 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.4

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = - \frac{128}{36 \cdot 4}$

ステップ 8.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$36$ に $4$ をかけます。

$f' (2) = - \frac{128}{144}$

ステップ 8.2.3.2

$128$ と $144$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.1

$16$ を $128$ で因数分解します。

$f' (2) = - \frac{16 (8)}{144}$

ステップ 8.2.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.2.2.1

$16$ を $144$ で因数分解します。

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

ステップ 8.2.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$f' (2) = - \frac{16 \cdot 8}{16 \cdot 9}$

ステップ 8.2.3.2.2.3

式を書き換えます。

$f' (2) = - \frac{8}{9}$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- \frac{8}{9}$ です。

$- \frac{8}{9}$

ステップ 8.3

$x = 2$ で微分係数は $- \frac{8}{9}$ です。これは負の値なので、関数は $(0, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(0, 4)$ で減少

ステップ 9

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - \frac{64 (5)}{{((5) + 4)}^{2} {((5) - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

$64$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{320}{{(5 + 4)}^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$5$ と $4$ をたし算します。

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} {(5 - 4)}^{2}}$

ステップ 9.2.2.2

$5$ から $4$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{320}{9^{2} \cdot 1^{2}}$

ステップ 9.2.2.3

$9$ を $2$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1^{2}}$

ステップ 9.2.2.4

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (5) = - \frac{320}{81 \cdot 1}$

ステップ 9.2.3

$81$ に $1$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{320}{81}$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $- \frac{320}{81}$ です。

$- \frac{320}{81}$

ステップ 9.3

$x = 5$ で微分係数は $- \frac{320}{81}$ です。これは負の値なので、関数は $(4, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 10

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 4), (- 4, 0)$ で増加

$(0, 4), (4, \infty)$ で減少

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例