微分積分例

$f (x) = \sqrt{4 - x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x}$ を ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $4 - x$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x)$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $4 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.9

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

ステップ 1.1.10

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x)$

ステップ 1.1.11

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x)$

ステップ 1.1.12

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 1 \cdot 1)$

ステップ 1.1.13

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.13.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

ステップ 1.1.13.2

$\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ と $- 1$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.13.3

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 4.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$- \frac{1}{2 \sqrt{{(4 - x)}^{1}}}$

ステップ 4.1.2

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$- \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 \sqrt{4 - x} = 0$

ステップ 4.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x}$ を ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1.1

積の法則を $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3

${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$4 {(4 - x)}^{1} = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.4

簡約します。

$4 (4 - x) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.5

分配則を当てはめます。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6

掛け算します。

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ステップ 4.3.2.2.1.6.1

$4$ に $4$ をかけます。

$16 + 4 (- x) = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.2.1.6.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$16 - 4 x = 0^{2}$

ステップ 4.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$16 - 4 x = 0$

ステップ 4.3.3

$x$ について解きます。

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ステップ 4.3.3.1

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$- 4 x = - 16$

ステップ 4.3.3.2

$- 4 x = - 16$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$- 4 x = - 16$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 4.3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 4.3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 16}{- 4}$

ステップ 4.3.3.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.3.3.2.3.1

$- 16$ を $- 4$ で割ります。

$x = 4$

ステップ 4.4

$\sqrt{4 - x}$ の被開数を $0$ より小さいとして、式が未定義である場所を求めます。

$4 - x < 0$

ステップ 4.5

$x$ について解きます。

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ステップ 4.5.1

不等式の両辺から $4$ を引きます。

$- x < - 4$

ステップ 4.5.2

$- x < - 4$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.5.2.1

$- x < - 4$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x}{1} > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.5.2.2.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x > \frac{- 4}{- 1}$

ステップ 4.5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.5.2.3.1

$- 4$ を $- 1$ で割ります。

$x > 4$

ステップ 4.6

分母が $0$ に等しい、平方根の引数が $0$ より小さい、または対数の引数が $0$ 以下の場合、方程式は未定義です。

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

$x \geq 4$

$[4, \infty)$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \sqrt{4 - x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - (3))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{1}{2 {(4 - 3)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$4$ から $3$ を引きます。

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (3) = - \frac{1}{2 \cdot 1}$

ステップ 6.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (3) = - \frac{1}{2}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{2}$ です。

$- \frac{1}{2}$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $- \frac{1}{2}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 4)$ で減少

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - (5))}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(4 - 5)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.1.2

$4$ から $5$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 {(- 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 7.2.1.3

${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ に書き換えます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 7.2.1.4

指数を求めます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 \sqrt{- 1}}$

ステップ 7.2.1.5

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$f' (5) = - \frac{1}{2 i}$

ステップ 7.2.2

$\frac{1}{2 i}$ の分子と分母に $2 i$ の共役を掛け、分母を実数にします。

$f' (5) = - (\frac{1}{2 i} \cdot \frac{i}{i})$

ステップ 7.2.3

掛け算します。

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ステップ 7.2.3.1

まとめる。

$f' (5) = - \frac{1 i}{2 i i}$

ステップ 7.2.3.2

$i$ に $1$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i i}$

ステップ 7.2.3.3

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.3.3.1

括弧を付けます。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 7.2.3.3.2

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 7.2.3.3.3

$i$ を $1$ 乗します。

$f' (5) = - \frac{i}{2 (i i)}$

ステップ 7.2.3.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.3.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (5) = - \frac{i}{2 i^{2}}$

ステップ 7.2.3.3.6

$i^{2}$ を $- 1$ に書き換えます。

$f' (5) = - \frac{i}{2 \cdot - 1}$

ステップ 7.2.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (5) = - \frac{i}{- 2}$

ステップ 7.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (5) = \frac{i}{2}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $\frac{i}{2}$ です。

$\frac{i}{2}$

ステップ 7.3

$x = 5$ で微分係数は $\frac{i}{2}$ です。これは虚数を含むので、関数は $(4, \infty)$ 上にありません。

$f' (x)$ が虚数なので、関数は $(4, \infty)$ 上で実数ではありません。

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 4)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例