微分積分例

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 4}$ を ${(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 4$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 4$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.7

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.7.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot {(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.7.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)$

ステップ 1.1.8

総和則では、 $x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.9

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (4))$

ステップ 1.1.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 1.1.11

項を簡約します。

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ステップ 1.1.11.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)$

ステップ 1.1.11.2

$2$ と $\frac{1}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x$

ステップ 1.1.11.3

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.4

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.11.5

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$x = 0$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $0$ です。

$0$

ステップ 4

微分係数 $f' (x) = \frac{x}{{(x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \sqrt{x^{2} + 4}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ です。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{({(- 1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 1) = \frac{- 1}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (- 1) = - \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ です。

$- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 5.3

$x = - 1$ で微分係数は $- \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 0)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f' (1) = \frac{1}{{({(1)}^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (1) = \frac{1}{{(1 + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$1$ と $4$ をたし算します。

$f' (1) = \frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 6.3

$x = 1$ で微分係数は $\frac{1}{5^{\frac{1}{2}}}$ です。これは正の値なので、関数は $(0, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 7

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(0, \infty)$ で増加

$(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例