微分積分例

$f (x) = \frac{5}{x + 5}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5}{x + 5}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x + 5}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{x + 5}$ を ${(x + 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$5 \frac{d}{d x} [{(x + 5)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 5$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 5$ で置き換えます。

$5 (- {(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $5$ をかけます。

$- 5 ({(x + 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x + 5])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [5])$

ステップ 1.1.3.4

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.5.2

$- 5$ に $1$ をかけます。

$- 5 {(x + 5)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 5 \frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 5$ と $\frac{1}{{(x + 5)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ です。

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{5}{{(x + 5)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$5 = 0$

ステップ 2.3

$5 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x + 5)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

$x + 5$ が $0$ に等しいとします。

$x + 5 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から $5$ を引きます。

$x = - 5$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{5}{{(x + 5)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{5}{x + 5}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$ です。

$(- \infty, - 5) \cup (- 5, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 5)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f' (- 6) = - \frac{5}{{((- 6) + 5)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 6$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 6) = - \frac{5}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (- 6) = - \frac{5}{1}$

ステップ 6.2.2

式を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (- 6) = - 1 \cdot 5$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (- 6) = - 5$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 6.3

$x = - 6$ で微分係数は $- 5$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, - 5)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 5)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 5, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f' (- 4) = - \frac{5}{{((- 4) + 5)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 4$ と $5$ をたし算します。

$f' (- 4) = - \frac{5}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (- 4) = - \frac{5}{1}$

ステップ 7.2.2

式を簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$5$ を $1$ で割ります。

$f' (- 4) = - 1 \cdot 5$

ステップ 7.2.2.2

$- 1$ に $5$ をかけます。

$f' (- 4) = - 5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 5$ です。

$- 5$

ステップ 7.3

$x = - 4$ で微分係数は $- 5$ です。これは負の値なので、関数は $(- 5, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- 5, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - 5), (- 5, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例