微分積分例

$f (x) = \frac{x}{1 - x}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

$1 - x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.3

総和則では、 $1 - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{1 - x - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x - x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x]$ をたし算します。

$\frac{1 - x - x \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1 - x - x (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7

掛け算します。

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ステップ 1.1.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - x + 1 x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x + x \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x + x \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9

項を加えて簡約します。

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ステップ 1.1.2.9.1

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x + x}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.2

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{1 + 0}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.3

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.9.3.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(1 - x)}^{2}}$

ステップ 1.1.2.9.3.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(- x + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 1$ を $- x + 1$ で因数分解します。

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ステップ 4.2.1.1.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

${(- (x) + 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.1.2

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

${(- (x) - 1 \cdot - 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.1.3

$- 1$ を $- (x) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

${(- (x - 1))}^{2} = 0$

ステップ 4.2.1.2

積の法則を $- (x - 1)$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.2

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

${(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ の各項を ${(- 1)}^{2}$ で割ります。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

${(- 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2}} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

${(x - 1)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{1}$

ステップ 4.2.2.3.2

$0$ を $1$ で割ります。

${(x - 1)}^{2} = 0$

ステップ 4.2.3

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 4.2.4

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = \frac{1}{{(- x + 1)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{x}{1 - x}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ です。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 1)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f' (0) = \frac{1}{{(- (0) + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f' (0) = \frac{1}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (0) = \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

ステップ 6.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f' (0) = 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 6.3

$x = 0$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, 1)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, 1)$ で増加

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f' (2) = \frac{1}{{(- (2) + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (2) = \frac{1}{{(- 2 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ と $1$ をたし算します。

$f' (2) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (2) = \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2

$1$ を $1$ で割ります。

$f' (2) = 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 7.3

$x = 2$ で微分係数は $1$ です。これは正の値なので、関数は $(1, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(1, \infty)$ で増加

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 1), (1, \infty)$ で増加

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例