微分積分例

$f (x) = 4 x + 3 x^{2} - x^{3}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $4 x + 3 x^{2} - x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$4 + 6 x + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

ステップ 1.1.4

$\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$4 + 6 x - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 1.1.4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 + 6 x - (3 x^{2})$

ステップ 1.1.4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$4 + 6 x - 3 x^{2}$

ステップ 1.1.5

項を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 6 x + 4$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- 3 x^{2} + 6 x + 4$ です。

$- 3 x^{2} + 6 x + 4$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- 3 x^{2} + 6 x + 4 = 0$

ステップ 2.2

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.3

$a = - 3$ 、 $b = 6$ 、および $c = 4$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot 4)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.2.2

$12$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.3

$36$ と $48$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.4

$84$ を $2^{2} \cdot 21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1.4.1

$4$ を $84$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.4.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

ステップ 2.4.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.2.2

$12$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.3

$36$ と $48$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.4

$84$ を $2^{2} \cdot 21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1.4.1

$4$ を $84$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.5.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

ステップ 2.5.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.5.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.6

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 3 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.2

$- 4 \cdot - 3 \cdot 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.2.1

$- 4$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12 \cdot 4}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.2.2

$12$ に $4$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 48}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.3

$36$ と $48$ をたし算します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.4

$84$ を $2^{2} \cdot 21$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1.4.1

$4$ を $84$ で因数分解します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot - 3}$

ステップ 2.6.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$x = \frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$

ステップ 2.6.3

$\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{21}}{- 6}$ を簡約します。

$x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.6.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

ステップ 2.7

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

ステップ 3

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$ です。

$\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}$

ステップ 4

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3}) \cup (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 1.52752525$ で置換えます。

$f' (- 1.52752525) = - 3 {(- 1.52752525)}^{2} + 6 (- 1.52752525) + 4$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 1.52752525$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.52752525) = - 3 \cdot 2.33333338 + 6 (- 1.52752525) + 4$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $2.33333338$ をかけます。

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 + 6 (- 1.52752525) + 4$

ステップ 5.2.1.3

$6$ に $- 1.52752525$ をかけます。

$f' (- 1.52752525) = - 7.00000016 - 9.1651515 + 4$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 7.00000016$ から $9.1651515$ を引きます。

$f' (- 1.52752525) = - 16.16515166 + 4$

ステップ 5.2.2.2

$- 16.16515166$ と $4$ をたし算します。

$f' (- 1.52752525) = - 12.16515166$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 12.16515166$ です。

$- 12.16515166$

ステップ 5.3

$x = - 1.52752525$ で微分係数は $- 12.16515166$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3})$ で減少

ステップ 6

区間 $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.99999997$ で置換えます。

$f' (0.99999997) = - 3 {(0.99999997)}^{2} + 6 (0.99999997) + 4$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.99999997$ を $2$ 乗します。

$f' (0.99999997) = - 3 \cdot 0.99999995 + 6 (0.99999997) + 4$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $0.99999995$ をかけます。

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 6 (0.99999997) + 4$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $0.99999997$ をかけます。

$f' (0.99999997) = - 2.99999985 + 5.99999985 + 4$

ステップ 6.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 2.99999985$ と $5.99999985$ をたし算します。

$f' (0.99999997) = 3 + 4$

ステップ 6.2.2.2

$3$ と $4$ をたし算します。

$f' (0.99999997) = 7$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $7$ です。

$7$

ステップ 6.3

$x = 0.99999997$ で微分係数は $7$ です。これは正の値なので、関数は $(- 0.52752525, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $3.5275252$ で置換えます。

$f' (3.5275252) = - 3 {(3.5275252)}^{2} + 6 (3.5275252) + 4$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$3.5275252$ を $2$ 乗します。

$f' (3.5275252) = - 3 \cdot 12.44343403 + 6 (3.5275252) + 4$

ステップ 7.2.1.2

$- 3$ に $12.44343403$ をかけます。

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 6 (3.5275252) + 4$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $3.5275252$ をかけます。

$f' (3.5275252) = - 37.3303021 + 21.1651512 + 4$

ステップ 7.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 37.3303021$ と $21.1651512$ をたし算します。

$f' (3.5275252) = - 16.1651509 + 4$

ステップ 7.2.2.2

$- 16.1651509$ と $4$ をたし算します。

$f' (3.5275252) = - 12.1651509$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 12.1651509$ です。

$- 12.1651509$

ステップ 7.3

$x = 3.5275252$ で微分係数は $- 12.1651509$ です。これは負の値なので、関数は $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{3 - \sqrt{21}}{3}, \frac{3 + \sqrt{21}}{3})$ で増加

$(- \infty, \frac{3 - \sqrt{21}}{3}), (\frac{3 + \sqrt{21}}{3}, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例