微分積分例

$y = x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 9 x^{2}$ の微分係数は $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 9$ をかけます。

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [- 81 x]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 81 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$- 81$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 81 x$ の微分係数は $- 81 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 18 x - 81 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 18 x - 81 \cdot 1$

ステップ 1.1.3.3

$- 81$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x - 81$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 18 x - 81$ です。

$3 x^{2} - 18 x - 81$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 18 x - 81 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 18 x - 81 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 18 x - 81$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 18 x - 81 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $- 18 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) - 81 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $- 81$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot - 27 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 27 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot - 27$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 6 x - 27) = 0$

ステップ 2.2.2

因数分解。

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ステップ 2.2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 6 x - 27$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 27$ で、その和が $- 6$ です。

$- 9, 3$

ステップ 2.2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$3 ((x - 9) (x + 3)) = 0$

ステップ 2.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$3 (x - 9) (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 9 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 2.4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $3 (x - 9) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 9, - 3$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 9 x^{2} - 81 x$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 9$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$9$ を $x$ に代入します。

${(9)}^{3} - 9 {(9)}^{2} - 81 \cdot 9$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$9$ を $3$ 乗します。

$729 - 9 {(9)}^{2} - 81 \cdot 9$

ステップ 4.1.2.1.2

$9$ を $2$ 乗します。

$729 - 9 \cdot 81 - 81 \cdot 9$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 9$ に $81$ をかけます。

$729 - 729 - 81 \cdot 9$

ステップ 4.1.2.1.4

$- 81$ に $9$ をかけます。

$729 - 729 - 729$

ステップ 4.1.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$729$ から $729$ を引きます。

$0 - 729$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $729$ を引きます。

$- 729$

ステップ 4.2

$x = - 3$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$- 3$ を $x$ に代入します。

${(- 3)}^{3} - 9 {(- 3)}^{2} - 81 \cdot - 3$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1.1

$- 3$ を $3$ 乗します。

$- 27 - 9 {(- 3)}^{2} - 81 \cdot - 3$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 3$ を $2$ 乗します。

$- 27 - 9 \cdot 9 - 81 \cdot - 3$

ステップ 4.2.2.1.3

$- 9$ に $9$ をかけます。

$- 27 - 81 - 81 \cdot - 3$

ステップ 4.2.2.1.4

$- 81$ に $- 3$ をかけます。

$- 27 - 81 + 243$

ステップ 4.2.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$- 27$ から $81$ を引きます。

$- 108 + 243$

ステップ 4.2.2.2.2

$- 108$ と $243$ をたし算します。

$135$

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(9, - 729), (- 3, 135)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例