微分積分例

$y = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 6 x^{2}$ の微分係数は $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.2.3

$2$ に $- 6$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.3.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 x^{2} - 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.3.3

$12$ に $1$ をかけます。

$3 x^{2} - 12 x + 12 + \frac{d}{d x} [- 6]$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.4.1

$- 6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 6$ の微分係数は $0$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 12 + 0$

ステップ 1.1.4.2

$3 x^{2} - 12 x + 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 12$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 12 x + 12$ です。

$3 x^{2} - 12 x + 12$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 12 x + 12 = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$3$ を $3 x^{2} - 12 x + 12$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) - 12 x + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.2

$3$ を $- 12 x$ で因数分解します。

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 12 = 0$

ステップ 2.2.1.3

$3$ を $12$ で因数分解します。

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.4

$3$ を $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4 = 0$

ステップ 2.2.1.5

$3$ を $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 4$ で因数分解します。

$3 (x^{2} - 4 x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$3 (x^{2} - 4 x + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

ステップ 2.2.2.3

多項式を書き換えます。

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.4

$a = x$ と $b = 2$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.3

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1

$3 {(x - 2)}^{2} = 0$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 {(x - 2)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.2.1.2

${(x - 2)}^{2}$ を $1$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{3}$

ステップ 2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.3.1

$0$ を $3$ で割ります。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.4

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.5

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 6$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = 2$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2$ を $x$ に代入します。

${(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ を $3$ 乗します。

$8 - 6 {(2)}^{2} + 12 (2) - 6$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$8 - 6 \cdot 4 + 12 (2) - 6$

ステップ 4.1.2.1.3

$- 6$ に $4$ をかけます。

$8 - 24 + 12 (2) - 6$

ステップ 4.1.2.1.4

$12$ に $2$ をかけます。

$8 - 24 + 24 - 6$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$8$ から $24$ を引きます。

$- 16 + 24 - 6$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 16$ と $24$ をたし算します。

$8 - 6$

ステップ 4.1.2.2.3

$8$ から $6$ を引きます。

$2$

ステップ 4.2

点のすべてを一覧にします。

$(2, 2)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例