微分積分例

$y = {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$f (x) = x^{7}$ および $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x + 1}{x - 1}$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = 7$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 u^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x + 1}{x - 1}$ で置き換えます。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x + 1$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.4.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.5

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8

分数をまとめます。

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ステップ 1.1.3.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$7 {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6} \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.3.8.3

$\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ と $7$ をまとめます。

$\frac{(x - 1 - (x + 1)) \cdot 7}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

ステップ 1.1.3.8.4

$7$ を $x - 1 - (x + 1)$ の左に移動させます。

$\frac{7 \cdot (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{6}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

積の法則を $\frac{x + 1}{x - 1}$ に当てはめます。

$\frac{7 (x - 1 - (x + 1))}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{7 (x - 1 - x - 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 x + 7 \cdot - 1 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.4.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 x - 7 + 7 (- x) + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.2

$- 1$ に $7$ をかけます。

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 (- 1 \cdot 1)}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{7 x - 7 - 7 x + 7 \cdot - 1}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.4

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{7 x - 7 - 7 x - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.5

$7 x$ から $7 x$ を引きます。

$\frac{0 - 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.6

$0$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 7 - 7}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.7

$- 7$ から $7$ を引きます。

$\frac{- 14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{14}{{(x - 1)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$

ステップ 1.1.4.4.9

$\frac{{(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{6}}$ に $\frac{14}{{(x - 1)}^{2}}$ をかけます。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6} {(x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.4.10

指数を足して ${(x - 1)}^{6}$ に ${(x - 1)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.1.4.4.10.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{6 + 2}}$

ステップ 1.1.4.4.10.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{{(x + 1)}^{6} \cdot 14}{{(x - 1)}^{8}}$

ステップ 1.1.4.4.11

$14$ を ${(x + 1)}^{6}$ の左に移動させます。

$f' (x) = - \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ です。

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.3.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ の各項を $14$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.3.1.1

$14 {(x + 1)}^{6} = 0$ の各項を $14$ で割ります。

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

ステップ 2.3.1.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.2.1

$14$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.3.1.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{14} = \frac{0}{14}$

ステップ 2.3.1.2.1.2

${(x + 1)}^{6}$ を $1$ で割ります。

${(x + 1)}^{6} = \frac{0}{14}$

ステップ 2.3.1.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.3.1.3.1

$0$ を $14$ で割ります。

${(x + 1)}^{6} = 0$

ステップ 2.3.2

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.3.3

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 3

微分係数が未定義になる値を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{14 {(x + 1)}^{6}}{{(x - 1)}^{8}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 1)}^{8} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

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ステップ 3.2.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 4

微分係数が $0$ または未定義のとき、各 $x$ における ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{7}$ の値を求めます。

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ステップ 4.1

$x = - 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ を $x$ に代入します。

${(\frac{(- 1) + 1}{(- 1) - 1})}^{7}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 1$ と $1$ をたし算します。

${(\frac{0}{- 1 - 1})}^{7}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ から $1$ を引きます。

${(\frac{0}{- 2})}^{7}$

ステップ 4.1.2.3

$0$ を $- 2$ で割ります。

$0^{7}$

ステップ 4.1.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$0$

ステップ 4.2

$x = 1$ での値を求めます。

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ステップ 4.2.1

$1$ を $x$ に代入します。

${(\frac{(1) + 1}{(1) - 1})}^{7}$

ステップ 4.2.2

簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

${(\frac{(1) + 1}{0})}^{7}$

ステップ 4.2.2.2

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

ステップ 4.3

点のすべてを一覧にします。

$(- 1, 0)$

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例