微分積分例

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 - x^{2}}$ を ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 4 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $4 - x^{2}$ とします。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.3.3

$u$ のすべての発生を $4 - x^{2}$ で置き換えます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.8.1

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.8.4

$\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.9

総和則では、 $4 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.10

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.14.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14.2

$- 2$ と $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.15

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.16

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.17

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.18

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.19

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.20.1

$2$ を $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.20.3

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.21

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 1.1.22

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

ステップ 1.1.23

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

ステップ 1.1.24

${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.25

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26

指数を足して ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.26.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.2

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.26.4

$2$ を $2$ で割ります。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.27

${(4 - x^{2})}^{1}$ を簡約します。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.28

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.1.29

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

$f (x) = - 2 x^{2} + 4$ および $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.2

${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.2.2.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.3

簡約します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

総和則では、 $- 2 x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.2

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x^{2}$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.5

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.4.6

$- 4 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.5

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = - x^{2} + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 4$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.5.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 4$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.7

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.9.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.9.2

$1$ から $2$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.10

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.10.1

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.10.2

$\frac{1}{2}$ と ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.10.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.11

総和則では、 $- x^{2} + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.12

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.13

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.14

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.15

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.16

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.16.1

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.16.2

$- 2$ と $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.16.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.16.4

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.17

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.17.1

$2$ を $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.17.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.17.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.18

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.19

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.20

$- 2 x^{2} + 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.2

$- 2 x^{2} + 4$ に $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.3

$2$ を $- 2 x^{2} + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.3.1

$2$ を $- 2 x^{2}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.3.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.3.3

$2$ を $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.4

$- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.5

$- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ と $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.6

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7

因数分解した形で $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.7.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.7.1.1

$2 x$ を $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.1.2

$2 x$ を $2 (- x^{2} + 2) x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.1.3

$2 x$ を $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.7.2.1

指数を足して ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.7.2.1.1

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2.1.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2.1.5

$2$ を $2$ で割ります。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.7.2.2

$- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ を簡約します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.8

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.1.8.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.8.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.8.3

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.8.4

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.1.8.5

$- 8$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.2.1

$\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ を積として書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

ステップ 1.2.21.2.2

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.21.2.3

指数を足して ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 4$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.2.3.1

${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ に $- x^{2} + 4$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.21.2.3.1.1

$- x^{2} + 4$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

ステップ 1.2.21.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

ステップ 1.2.21.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.21.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

ステップ 1.2.21.2.3.4

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 6) = 0$

ステップ 2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.3.3

$x^{2} - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.1

$x^{2} - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 6 = 0$

ステップ 2.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.1

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x^{2} = 6$

ステップ 2.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{6}$

ステップ 2.3.3.2.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.3.3.2.3.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt{6}$

ステップ 2.3.3.2.3.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt{6}$

ステップ 2.3.3.2.3.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \sqrt{6}, - \sqrt{6}$

ステップ 2.4

$\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ が真にならない解を除外します。

$x = 0$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = (0) \sqrt{4 - {(0)}^{2}}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 \sqrt{4 - 0}$

ステップ 3.1.2.2

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 \sqrt{4 + 0}$

ステップ 3.1.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 \sqrt{4}$

ステップ 3.1.2.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (0) = 0 \sqrt{2^{2}}$

ステップ 3.1.2.5

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f (0) = 0 \cdot 2$

ステップ 3.1.2.6

$0$ に $2$ をかけます。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.7

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{2 (- 0.1) ({(- 0.1)}^{2} - 6)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{- 0.2 ({(- 0.1)}^{2} - 6)}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 0.2$ に ${(- 0.1)}^{2} - 6$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{(- {(- 0.1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{(- 1 \cdot 0.01 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.1.2

$- 1$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{(- 0.01 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 0.01$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{3.99}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.3

$3.99$ を ${1.99749843}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{({1.99749843}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 5.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{1.99749843}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 5.2.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{1.99749843}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 5.2.2.5.2

式を書き換えます。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{{1.99749843}^{3}}$

ステップ 5.2.2.6

$1.99749843$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = \frac{1.198}{7.97001875}$

ステップ 5.2.3

$1.198$ を $7.97001875$ で割ります。

$f'' (- 0.1) = 0.15031332$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $0.15031332$ です。

$0.15031332$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $0.15031332$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = \frac{2 (0.1) ({(0.1)}^{2} - 6)}{{(- {(0.1)}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$2$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{0.2 ({0.1}^{2} - 6)}{{(- {0.1}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.1.2

$0.2$ に ${0.1}^{2} - 6$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{(- {0.1}^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{(- 1 \cdot 0.01 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.1.2

$- 1$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{(- 0.01 + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 0.01$ と $4$ をたし算します。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{3.99}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.3

$3.99$ を ${1.99749843}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{({1.99749843}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 6.2.2.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{1.99749843}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 6.2.2.5

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.5.1

共通因数を約分します。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{1.99749843}^{2 (\frac{3}{2})}}$

ステップ 6.2.2.5.2

式を書き換えます。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{{1.99749843}^{3}}$

ステップ 6.2.2.6

$1.99749843$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = \frac{- 1.198}{7.97001875}$

ステップ 6.2.3

$- 1.198$ を $7.97001875$ で割ります。

$f'' (0.1) = - 0.15031332$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.15031332$ です。

$- 0.15031332$

ステップ 6.3

$0.1$ で二次導関数は $- 0.15031332$ です。これは負の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \infty)$ で減少

ステップ 7

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, 0)$ です。

$(0, 0)$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例