微分積分例

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.3

$4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{3}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.3.3

$3$ に $- 4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.4

定数の規則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.4.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2} + 0$

ステップ 1.1.4.2

$12 x^{3} - 12 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{3} - 12 x^{2}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $12 x^{3} - 12 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{3}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.2.2.3

$3$ に $12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{2}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 12 (2 x)$

ステップ 1.2.3.3

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = 36 x^{2} - 24 x$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $36 x^{2} - 24 x$ です。

$36 x^{2} - 24 x$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $36 x^{2} - 24 x = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$36 x^{2} - 24 x = 0$

ステップ 2.2

$12 x$ を $36 x^{2} - 24 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$12 x$ を $36 x^{2}$ で因数分解します。

$12 x (3 x) - 24 x = 0$

ステップ 2.2.2

$12 x$ を $- 24 x$ で因数分解します。

$12 x (3 x) + 12 x (- 2) = 0$

ステップ 2.2.3

$12 x$ を $12 x (3 x) + 12 x (- 2)$ で因数分解します。

$12 x (3 x - 2) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 2.5.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 2.6

最終解は $12 x (3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{2}{3}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 3 {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 3 \cdot 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 3.1.2.1.2

$3$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{3} + 1$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 1$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 1$

ステップ 3.1.2.2

数を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 1$

ステップ 3.1.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f (0) = 1$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 3.2

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 1)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 1)$

ステップ 3.3

$\frac{2}{3}$ を $f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{2}{3}$ で置換えます。

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{4} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{4}}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.2

$2$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3^{4}}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.3

$3$ を $4$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{81}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.4

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$3$ を $81$ で因数分解します。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 (27)}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{16}{3 \cdot 27}) - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.4.3

式を書き換えます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 {(\frac{2}{3})}^{3} + 1$

ステップ 3.3.2.1.5

積の法則を $\frac{2}{3}$ に当てはめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{2^{3}}{3^{3}} + 1$

ステップ 3.3.2.1.6

$2$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 \frac{8}{3^{3}} + 1$

ステップ 3.3.2.1.7

$3$ を $3$ 乗します。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - 4 (\frac{8}{27}) + 1$

ステップ 3.3.2.1.8

$- 4 (\frac{8}{27})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.8.1

$- 4$ と $\frac{8}{27}$ をまとめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 4 \cdot 8}{27} + 1$

ステップ 3.3.2.1.8.2

$- 4$ に $8$ をかけます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} + \frac{- 32}{27} + 1$

ステップ 3.3.2.1.9

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{16}{27} - \frac{32}{27} + 1$

ステップ 3.3.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{16 - 32}{27}$

ステップ 3.3.2.2.2

式を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.2.1

$16$ から $32$ を引きます。

$f (\frac{2}{3}) = 1 + \frac{- 16}{27}$

ステップ 3.3.2.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{2}{3}) = 1 - \frac{16}{27}$

ステップ 3.3.2.2.2.3

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27}{27} - \frac{16}{27}$

ステップ 3.3.2.2.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{27 - 16}{27}$

ステップ 3.3.2.2.2.5

$27$ から $16$ を引きます。

$f (\frac{2}{3}) = \frac{11}{27}$

ステップ 3.3.2.3

最終的な答えは $\frac{11}{27}$ です。

$\frac{11}{27}$

ステップ 3.4

$f (x) = 3 x^{4} - 4 x^{3} + 1$ で代入して $\frac{2}{3}$ 求めた点は、 $(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 36 {(- 0.1)}^{2} - 24 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 36 \cdot 0.01 - 24 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2.1.2

$36$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.36 - 24 \cdot - 0.1$

ステップ 5.2.1.3

$- 24$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.36 + 2.4$

ステップ 5.2.2

$0.36$ と $2.4$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = 2.76$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $2.76$ です。

$2.76$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $2.76$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \frac{2}{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (0.\overline{3}) = 36 {(0.\overline{3})}^{2} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.\overline{3}$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.\overline{3}) = 36 \cdot 0.\overline{1} - 24 \cdot 0.\overline{3}$

ステップ 6.2.1.2

$36$ に $0.\overline{1}$ をかけます。

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 24 \cdot 0.\overline{3}$

ステップ 6.2.1.3

$- 24$ に $0.\overline{3}$ をかけます。

$f'' (0.\overline{3}) = 4 - 8$

ステップ 6.2.2

$4$ から $8$ を引きます。

$f'' (0.\overline{3}) = - 4$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 6.3

$0.\overline{3}$ で二次導関数は $- 4$ です。これは負の値なので、 $(0, \frac{2}{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \frac{2}{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{2}{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.7\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 {(0.7\overline{6})}^{2} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.7\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.7\overline{6}) = 36 \cdot 0.58\overline{7} - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

ステップ 7.2.1.2

$36$ に $0.58\overline{7}$ をかけます。

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 24 \cdot 0.7\overline{6}$

ステップ 7.2.1.3

$- 24$ に $0.7\overline{6}$ をかけます。

$f'' (0.7\overline{6}) = 21.16 - 18.4$

ステップ 7.2.2

$21.16$ から $18.4$ を引きます。

$f'' (0.7\overline{6}) = 2.76$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $2.76$ です。

$2.76$

ステップ 7.3

$0.7\overline{6}$ で二次導関数は $2.76$ です。これは正の値なので、 $(\frac{2}{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{2}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$ .

$(0, 1), (\frac{2}{3}, \frac{11}{27})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例