微分積分例

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

ステップ 1

$y = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2.4.2

$x^{\frac{1}{3}}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})$

ステップ 2.1.2.5

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.1.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.1.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

ステップ 2.1.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

ステップ 2.1.7

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

ステップ 2.1.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

ステップ 2.1.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + (x - 4) (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.1.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + x (\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}) - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.1

$x$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.2

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $x^{\frac{2}{3}}$ を分子に移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.3

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.3.1

$x$ に $x^{- \frac{2}{3}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.10.2.3.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.3.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.3.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.3.3

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.3.4

$3$ から $2$ を引きます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.4

$- 4$ と $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ をまとめます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.6

$x^{\frac{1}{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.7

$x^{\frac{1}{3}}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.8

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = \frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.9

$3$ を $x^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.1.10.2.10

$3 x^{\frac{1}{3}}$ と $x^{\frac{1}{3}}$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$\frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ の微分係数は $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.7

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.8

$\frac{1}{3}$ と $x^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.9

$\frac{4}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.10

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.2.11

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}})$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- \frac{4}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ の微分係数は $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ です。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 2.2.3.2

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ を ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

ステップ 2.2.3.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{2}{3}}$ とします。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

ステップ 2.2.3.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.2.3.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{2}{3}}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

ステップ 2.2.3.4

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5

${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.2

$\frac{2}{3} \cdot - 2$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ と $- 2$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.2.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.3.5.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

ステップ 2.2.3.6

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

ステップ 2.2.3.7

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.3.8

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

ステップ 2.2.3.9

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.9.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

ステップ 2.2.3.9.2

$2$ から $3$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

ステップ 2.2.3.10

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

ステップ 2.2.3.11

$\frac{2}{3}$ と $x^{- \frac{1}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ と $x^{- \frac{4}{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.13

指数を足して $x^{- \frac{1}{3}}$ に $x^{- \frac{4}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.13.1

$x^{- \frac{4}{3}}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

ステップ 2.2.3.13.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.13.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.13.4

$- 4$ から $1$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.13.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

ステップ 2.2.3.14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{5}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4}{3} \cdot (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

ステップ 2.2.3.15

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + 1 (\frac{4}{3}) \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.3.16

$\frac{4}{3}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.2.3.17

$\frac{4}{3}$ に $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

ステップ 2.2.3.18

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

ステップ 2.2.3.19

$3$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ です。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

ステップ 3.2

方程式の項の最小公分母を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

値のリストの最小公分母を求めることは、それらの値の分母の最小公倍数を求めることと同じです。

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

ステップ 3.2.2

Since $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $9, 9, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

ステップ 3.2.3

最小公倍数はすべての数を割り切る最小の正の数です。

1. 各数値の素因数を記入してください。

2. 各因数に、いずれかの値で発生する最大回数をかけてください。

ステップ 3.2.4

$9$ には $3$ と $3$ の因数があります。

$3 \cdot 3$

ステップ 3.2.5

数 $1$ は、それ自身である正の因数を1つだけもつので、素数ではありません。

素数ではありません

ステップ 3.2.6

$9, 9, 1$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの数に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$3 \cdot 3$

ステップ 3.2.7

$3$ に $3$ をかけます。

$9$

ステップ 3.2.8

$x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ の最小公倍数は、すべての素因数がいずれかの項に出現する回数の最大数を掛けた結果です。

$x^{\frac{5}{3}}$

ステップ 3.2.9

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ の最小公倍数は数値部分 $9$ に変数部分を掛けたものです。

$9 x^{\frac{5}{3}}$

ステップ 3.3

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ の各項に $9 x^{\frac{5}{3}}$ を掛け、分数を消去します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ の各項に $9 x^{\frac{5}{3}}$ を掛けます。

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.2

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.2.2

式を書き換えます。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.3

$x^{\frac{2}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

$x^{\frac{2}{3}}$ を $x^{\frac{5}{3}}$ で因数分解します。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.3.3

式を書き換えます。

$4 x^{\frac{3}{3}} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.4

$3$ を $3$ で割ります。

$4 x^{1} + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.5

簡約します。

$4 x + \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.6

積の可換性を利用して書き換えます。

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.7

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.7.1

共通因数を約分します。

$4 x + 9 \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.7.2

式を書き換えます。

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.8

$x^{\frac{5}{3}}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.8.1

共通因数を約分します。

$4 x + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}} x^{\frac{5}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.2.1.8.2

式を書き換えます。

$4 x + 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$9$ に $0$ をかけます。

$4 x + 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

ステップ 3.3.3.1.2

$0$ に $x^{\frac{5}{3}}$ をかけます。

$4 x + 8 = 0$

ステップ 3.4

方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

方程式の両辺から $8$ を引きます。

$4 x = - 8$

ステップ 3.4.2

$4 x = - 8$ の各項を $4$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

$4 x = - 8$ の各項を $4$ で割ります。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 8}{4}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.3.1

$- 8$ を $4$ で割ります。

$x = - 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 2$ を $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} ((- 2) - 4)$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- 2$ から $4$ を引きます。

$f (- 2) = {(- 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot - 6$

ステップ 4.1.2.2

$- 6$ を ${(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ の左に移動させます。

$f (- 2) = - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$ です。

$- 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x - 4)$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ を掛けます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$\frac{4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.2.2

指数を足して ${(- 2.1)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

${(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}$ を移動させます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} {(- 2.1)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.2.2.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 {(- 2.1)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 (- 2.1) + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

指数を求めます。

$f'' (- 2.1) = \frac{4 \cdot - 2.1 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.4.2

$4$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 8.4 + 8}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.4.3

$- 8.4$ と $8$ をたし算します。

$f'' (- 2.1) = \frac{- 0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.5

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2.1) = - \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.2.6

最終的な答えは $- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$ です。

$- \frac{0.4}{9 {(- 2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 6.3

$- 2.1$ で二次導関数は $0.01290581$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1.9$ で置換えます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ を掛けます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.2

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$\frac{4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}}$ に $\frac{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}$ をかけます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2

指数を足して ${(- 1.9)}^{\frac{2}{3}}$ に ${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.2.1

${(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}$ を移動させます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} {(- 1.9)}^{\frac{2}{3}})} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{3 + 2}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.2.2.4

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}} + \frac{8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.3

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 {(- 1.9)}^{\frac{3}{3}} + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 (- 1.9) + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

指数を求めます。

$f'' (- 1.9) = \frac{4 \cdot - 1.9 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.4.2

$4$ に $- 1.9$ をかけます。

$f'' (- 1.9) = \frac{- 7.6 + 8}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.4.3

$- 7.6$ と $8$ をたし算します。

$f'' (- 1.9) = \frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$ です。

$\frac{0.4}{9 {(- 1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

ステップ 7.3

$- 1.9$ で二次導関数は $- 0.01524853$ です。これは負の値なので、 $(- 2, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$ です。

$(- 2, - 6 {(- 2)}^{\frac{1}{3}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例