微分積分例

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$

ステップ 1

$y = \frac{x}{x^{2} + 25}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 25) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

$x^{2} + 25$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + \frac{d}{d x} (25))}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.5

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - x (2 x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 25 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 25}{{(x^{2} + 25)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$f (x) = - x^{2} + 25$ および $g (x) = {(x^{2} + 25)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

${({(x^{2} + 25)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 25) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

総和則では、 $- x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} (25)) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.6

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.2.7

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 25)}^{2}}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 25$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 25$ とします。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 25$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 25) (2 (x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) \frac{d}{d x} (x^{2} + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.2

総和則では、 $x^{2} + 25$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25]$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + \frac{d}{d x} (25)))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.4

$25$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $25$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) (2 x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.2

$2$ を $x^{2} + 25$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 25) (2 \cdot ((x^{2} + 25) x))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.4.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) ((x^{2} + 25) x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 25)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 {(x^{2} + 25)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.2

${(x^{2} + 25)}^{2}$ を $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 ((x^{2} + 25) (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 25) (x^{2} + 25)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 25) + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 (x^{2} + 25)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 25 + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.2

$25$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 \cdot x^{2} + 25 x^{2} + 25 \cdot 25) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.1.3

$25$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 25 x^{2} + 25 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.4.2

$25 x^{2}$ と $25 x^{2}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x^{4} + 50 x^{2} + 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.5

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 2 (50 x^{2}) - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.6.1

$50$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 2 \cdot 625) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.6.2

$- 2$ に $625$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{(- 2 x^{4} - 100 x^{2} - 1250) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.7

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{4} x - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 4} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{2} x - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 (x \cdot x^{2}) - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{1 + 2} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.8.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.9.1

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 25) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.9.2

$- 4$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2} x + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{2 + 1} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.10.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + (4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} - 100) (x^{3} + 25 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} (x^{3} + 25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 (x^{3} + 25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.11.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (25 x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{2} x) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 (x \cdot x^{2})) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{1 + 2}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 4 \cdot (25 x^{3}) - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.4

$4$ に $25$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 100 (25 x)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.1.5

$25$ に $- 100$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 100 x^{3} - 100 x^{3} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.2

$100 x^{3}$ から $100 x^{3}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} + 0 - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.1.12.3

$4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x + 4 x^{5} - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.2

$- 2 x^{5}$ と $4 x^{5}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 1250 x - 2500 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.3.3

$- 1250 x$ から $2500 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1

$2 x$ を $2 x^{5} - 100 x^{3} - 3750 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.1.1

$2 x$ を $2 x^{5}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) - 100 x^{3} - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 100 x^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) - 3750 x}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.3

$2 x$ を $- 3750 x$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (x^{4}) + 2 x (- 50 x^{2})$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (x^{4} - 50 x^{2}) + 2 x (- 1875)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{4} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 50 x^{2} - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$f'' (x) = \frac{2 x (u^{2} - 50 u - 1875)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.4

たすき掛けを利用して $u^{2} - 50 u - 1875$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.4.4.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 1875$ で、その和が $- 50$ です。

$- 75, 25$

ステップ 2.2.5.4.4.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f'' (x) = \frac{2 x ((u - 75) (u + 25))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5

$x^{2} + 25$ と ${(x^{2} + 25)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.1

$x^{2} + 25$ を $2 x (x^{2} - 75) (x^{2} + 25)$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{{(x^{2} + 25)}^{4}}$

ステップ 2.2.5.5.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.5.5.2.1

$x^{2} + 25$ を ${(x^{2} + 25)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 25) (2 x (x^{2} - 75))}{(x^{2} + 25) {(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 2.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} - 75)}{{(x^{2} + 25)}^{3}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} - 75) = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} - 75 = 0$

ステップ 3.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.3.3

$x^{2} - 75$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{2} - 75$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} - 75 = 0$

ステップ 3.3.3.2

$x$ について $x^{2} - 75 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.1

方程式の両辺に $75$ を足します。

$x^{2} = 75$

ステップ 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{75}$

ステップ 3.3.3.2.3

$\pm \sqrt{75}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1

$75$ を $5^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.3.1.1

$25$ を $75$ で因数分解します。

$x = \pm \sqrt{25 (3)}$

ステップ 3.3.3.2.3.1.2

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 3}$

ステップ 3.3.3.2.3.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 5 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 5 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 5 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

ステップ 3.3.4

最終解は $2 x (x^{2} - 75) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5 \sqrt{3}, - 5 \sqrt{3}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 25}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = \frac{0}{0 + 25}$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ と $25$ をたし算します。

$f (0) = \frac{0}{25}$

ステップ 4.1.2.2

$0$ を $25$ で割ります。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$5 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $5 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{{(5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

積の法則を $5 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

ステップ 4.3.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

ステップ 4.3.2.1.4

$25$ に $3$ をかけます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

ステップ 4.3.2.1.5

$75$ と $25$ をたし算します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{100}$

ステップ 4.3.2.2

$5$ と $100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.1

$5$ を $5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 (\sqrt{3})}{100}$

ステップ 4.3.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.2.2.1

$5$ を $100$ で因数分解します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

ステップ 4.3.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{5 \sqrt{3}}{5 \cdot 20}$

ステップ 4.3.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f (5 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{20}$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\frac{\sqrt{3}}{20}$ です。

$\frac{\sqrt{3}}{20}$

ステップ 4.4

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ で代入して $5 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

ステップ 4.5

$- 5 \sqrt{3}$ を $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.1

式の変数 $x$ を $- 5 \sqrt{3}$ で置換えます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5 \sqrt{3})}^{2} + 25}$

ステップ 4.5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.1

積の法則を $- 5 \sqrt{3}$ に当てはめます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{{(- 5)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.2

$- 5$ を $2$ 乗します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {\sqrt{3}}^{2} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.1.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3.4.2

式を書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

ステップ 4.5.2.1.3.5

指数を求めます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{25 \cdot 3 + 25}$

ステップ 4.5.2.1.4

$25$ に $3$ をかけます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{75 + 25}$

ステップ 4.5.2.1.5

$75$ と $25$ をたし算します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- 5 \sqrt{3}}{100}$

ステップ 4.5.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1

$- 5$ と $100$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.1

$5$ を $- 5 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{100}$

ステップ 4.5.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.5.2.2.1.2.1

$5$ を $100$ で因数分解します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 (20)}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{5 (- \sqrt{3})}{5 \cdot 20}$

ステップ 4.5.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{20}$

ステップ 4.5.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (- 5 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{20}$

ステップ 4.5.2.3

最終的な答えは $- \frac{\sqrt{3}}{20}$ です。

$- \frac{\sqrt{3}}{20}$

ステップ 4.6

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 25}$ で代入して $- 5 \sqrt{3}$ 求めた点は、 $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

ステップ 4.7

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20}), (- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 5 \sqrt{3}) \cup (- 5 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 5 \sqrt{3}) \cup (5 \sqrt{3}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 8.76025403$ で置換えます。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{2 (- 8.76025403) ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$2$ に $- 8.76025403$ をかけます。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 17.52050807 ({(- 8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 17.52050807$ に ${(- 8.76025403)}^{2} - 75$ をかけます。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{({(- 8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 8.76025403$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$76.7420508$ と $25$ をたし算します。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$101.7420508$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 8.76025403) = \frac{- 30.52161524}{1053177.23320495}$

ステップ 6.2.3

$- 30.52161524$ を $1053177.23320495$ で割ります。

$f'' (- 8.76025403) = - 0.00002898$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.00002898$ です。

$- 0.00002898$

ステップ 6.3

$- 8.76025403$ で二次導関数は $- 2.89805118 E - 5$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 5 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 4.33012701$ で置換えます。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{2 (- 4.33012701) ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2$ に $- 4.33012701$ をかけます。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{- 8.66025403 ({(- 4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 8.66025403$ に ${(- 4.33012701)}^{2} - 75$ をかけます。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{({(- 4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$- 4.33012701$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$18.75$ と $25$ をたし算します。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{{43.75}^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$43.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4.33012701) = \frac{487.13928962}{83740.234375}$

ステップ 7.2.3

$487.13928962$ を $83740.234375$ で割ります。

$f'' (- 4.33012701) = 0.00581726$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $0.00581726$ です。

$0.00581726$

ステップ 7.3

$- 4.33012701$ で二次導関数は $0.00581726$ です。これは正の値なので、 $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 5 \sqrt{3}, 0)$ で増加

ステップ 8

区間 $(0, 5 \sqrt{3})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4.33012701$ で置換えます。

$f'' (4.33012701) = \frac{2 (4.33012701) ({(4.33012701)}^{2} - 75)}{{({(4.33012701)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$2$ に $4.33012701$ をかけます。

$f'' (4.33012701) = \frac{8.66025403 ({4.33012701}^{2} - 75)}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$8.66025403$ に ${4.33012701}^{2} - 75$ をかけます。

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{({4.33012701}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$4.33012701$ を $2$ 乗します。

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{(18.75 + 25)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$18.75$ と $25$ をたし算します。

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{{43.75}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$43.75$ を $3$ 乗します。

$f'' (4.33012701) = \frac{- 487.13928962}{83740.234375}$

ステップ 8.2.3

$- 487.13928962$ を $83740.234375$ で割ります。

$f'' (4.33012701) = - 0.00581726$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.00581726$ です。

$- 0.00581726$

ステップ 8.3

$4.33012701$ で二次導関数は $- 0.00581726$ です。これは負の値なので、 $(0, 5 \sqrt{3})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, 5 \sqrt{3})$ で減少

ステップ 9

区間 $(5 \sqrt{3}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 9.1

式の変数 $x$ を $8.76025403$ で置換えます。

$f'' (8.76025403) = \frac{2 (8.76025403) ({(8.76025403)}^{2} - 75)}{{({(8.76025403)}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 9.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.1.1

$2$ に $8.76025403$ をかけます。

$f'' (8.76025403) = \frac{17.52050807 ({8.76025403}^{2} - 75)}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 9.2.1.2

$17.52050807$ に ${8.76025403}^{2} - 75$ をかけます。

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{({8.76025403}^{2} + 25)}^{3}}$

ステップ 9.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.2.1

$8.76025403$ を $2$ 乗します。

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{(76.7420508 + 25)}^{3}}$

ステップ 9.2.2.2

$76.7420508$ と $25$ をたし算します。

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{{101.7420508}^{3}}$

ステップ 9.2.2.3

$101.7420508$ を $3$ 乗します。

$f'' (8.76025403) = \frac{30.52161524}{1053177.23320495}$

ステップ 9.2.3

$30.52161524$ を $1053177.23320495$ で割ります。

$f'' (8.76025403) = 0.00002898$

ステップ 9.2.4

最終的な答えは $0.00002898$ です。

$0.00002898$

ステップ 9.3

$8.76025403$ で二次導関数は $2.89805118 E - 5$ です。これは正の値なので、 $(5 \sqrt{3}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(5 \sqrt{3}, \infty)$ で増加

ステップ 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$ .

$(- 5 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{20}), (0, 0), (5 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{20})$

ステップ 11

微分積分 例

微分積分例