微分積分例

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

総和則では、 $10 x^{6} - 13 x^{5}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

ステップ 1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x^{6}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{6}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ です。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{6}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

ステップ 1.1.2.2

$n = 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 10 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

ステップ 1.1.2.3

$6$ に $10$ をかけます。

$f' (x) = 60 x^{5} + \frac{d}{d x} (- 13 x^{5})$

ステップ 1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 13 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.3.1

$- 13$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 13 x^{5}$ の微分係数は $- 13 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 \frac{d}{d x} x^{5}$

ステップ 1.1.3.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 60 x^{5} - 13 (5 x^{4})$

ステップ 1.1.3.3

$5$ に $- 13$ をかけます。

$f' (x) = 60 x^{5} - 65 x^{4}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

総和則では、 $60 x^{5} - 65 x^{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [60 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

ステップ 1.2.2

$\frac{d}{d x} [60 x^{5}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x^{5}$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ です。

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

ステップ 1.2.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 60 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

ステップ 1.2.2.3

$5$ に $60$ をかけます。

$f'' (x) = 300 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 65 x^{4})$

ステップ 1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 65 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 65$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 65 x^{4}$ の微分係数は $- 65 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 \frac{d}{d x} x^{4}$

ステップ 1.2.3.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 300 x^{4} - 65 (4 x^{3})$

ステップ 1.2.3.3

$4$ に $- 65$ をかけます。

$f'' (x) = 300 x^{4} - 260 x^{3}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $300 x^{4} - 260 x^{3}$ です。

$300 x^{4} - 260 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$300 x^{4} - 260 x^{3} = 0$

ステップ 2.2

$20 x^{3}$ を $300 x^{4} - 260 x^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$20 x^{3}$ を $300 x^{4}$ で因数分解します。

$20 x^{3} (15 x) - 260 x^{3} = 0$

ステップ 2.2.2

$20 x^{3}$ を $- 260 x^{3}$ で因数分解します。

$20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13) = 0$

ステップ 2.2.3

$20 x^{3}$ を $20 x^{3} (15 x) + 20 x^{3} (- 13)$ で因数分解します。

$20 x^{3} (15 x - 13) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x^{3} = 0$

$15 x - 13 = 0$

ステップ 2.4

$x^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.1

$x^{3}$ が $0$ に等しいとします。

$x^{3} = 0$

ステップ 2.4.2

$x$ について $x^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

ステップ 2.4.2.2

$\sqrt[3]{0}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.2.1

$0$ を $0^{3}$ に書き換えます。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

ステップ 2.4.2.2.2

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = 0$

ステップ 2.5

$15 x - 13$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

$15 x - 13$ が $0$ に等しいとします。

$15 x - 13 = 0$

ステップ 2.5.2

$x$ について $15 x - 13 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.1

方程式の両辺に $13$ を足します。

$15 x = 13$

ステップ 2.5.2.2

$15 x = 13$ の各項を $15$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.1

$15 x = 13$ の各項を $15$ で割ります。

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

ステップ 2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1

$15$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{15 x}{15} = \frac{13}{15}$

ステップ 2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{13}{15}$

ステップ 2.6

最終解は $20 x^{3} (15 x - 13) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{13}{15}$

ステップ 3

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$0$ を $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 10 {(0)}^{6} - 13 {(0)}^{5}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 10 \cdot 0 - 13 {(0)}^{5}$

ステップ 3.1.2.1.2

$10$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 13 {(0)}^{5}$

ステップ 3.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 - 13 \cdot 0$

ステップ 3.1.2.1.4

$- 13$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 3.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 3.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 3.2

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 3.3

$\frac{13}{15}$ を $f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{13}{15}$ で置換えます。

$f (\frac{13}{15}) = 10 {(\frac{13}{15})}^{6} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

積の法則を $\frac{13}{15}$ に当てはめます。

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{13^{6}}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.2

$13$ を $6$ 乗します。

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{15^{6}}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.3

$15$ を $6$ 乗します。

$f (\frac{13}{15}) = 10 (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.4

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.4.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$f (\frac{13}{15}) = 5 (2) (\frac{4826809}{11390625}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.4.2

$5$ を $11390625$ で因数分解します。

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.4.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{13}{15}) = 5 \cdot (2 (\frac{4826809}{5 \cdot 2278125})) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.4.4

式を書き換えます。

$f (\frac{13}{15}) = 2 (\frac{4826809}{2278125}) - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.5

$2$ と $\frac{4826809}{2278125}$ をまとめます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{2 \cdot 4826809}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.6

$2$ に $4826809$ をかけます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 {(\frac{13}{15})}^{5}$

ステップ 3.3.2.1.7

積の法則を $\frac{13}{15}$ に当てはめます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{13^{5}}{15^{5}}$

ステップ 3.3.2.1.8

$13$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 \frac{371293}{15^{5}}$

ステップ 3.3.2.1.9

$15$ を $5$ 乗します。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - 13 (\frac{371293}{759375})$

ステップ 3.3.2.1.10

$- 13 (\frac{371293}{759375})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.10.1

$- 13$ と $\frac{371293}{759375}$ をまとめます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 13 \cdot 371293}{759375}$

ステップ 3.3.2.1.10.2

$- 13$ に $371293$ をかけます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} + \frac{- 4826809}{759375}$

ステップ 3.3.2.1.11

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375}$

ステップ 3.3.2.2

$- \frac{4826809}{759375}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809}{759375} \cdot \frac{3}{3}$

ステップ 3.3.2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2278125$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 3.3.2.3.1

$\frac{4826809}{759375}$ に $\frac{3}{3}$ をかけます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{759375 \cdot 3}$

ステップ 3.3.2.3.2

$759375$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618}{2278125} - \frac{4826809 \cdot 3}{2278125}$

ステップ 3.3.2.4

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 4826809 \cdot 3}{2278125}$

ステップ 3.3.2.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.2.5.1

$- 4826809$ に $3$ をかけます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{9653618 - 14480427}{2278125}$

ステップ 3.3.2.5.2

$9653618$ から $14480427$ を引きます。

$f (\frac{13}{15}) = \frac{- 4826809}{2278125}$

ステップ 3.3.2.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{13}{15}) = - \frac{4826809}{2278125}$

ステップ 3.3.2.7

最終的な答えは $- \frac{4826809}{2278125}$ です。

$- \frac{4826809}{2278125}$

ステップ 3.4

$f (x) = 10 x^{6} - 13 x^{5}$ で代入して $\frac{13}{15}$ 求めた点は、 $(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

ステップ 3.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

ステップ 4

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{13}{15}) \cup (\frac{13}{15}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 300 {(- 0.1)}^{4} - 260 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$- 0.1$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 300 \cdot 0.0001 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 5.2.1.2

$300$ に $0.0001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 {(- 0.1)}^{3}$

ステップ 5.2.1.3

$- 0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 0.03 - 260 \cdot - 0.001$

ステップ 5.2.1.4

$- 260$ に $- 0.001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = 0.03 + 0.26$

ステップ 5.2.2

$0.03$ と $0.26$ をたし算します。

$f'' (- 0.1) = 0.29$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $0.29$ です。

$0.29$

ステップ 5.3

$- 0.1$ で二次導関数は $0.29$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, 0)$ で増加

ステップ 6

区間 $(0, \frac{13}{15})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.4\overline{3}$ で置換えます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 {(0.4\overline{3})}^{4} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.4\overline{3}$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.4\overline{3}) = 300 \cdot 0.03526049 - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

ステップ 6.2.1.2

$300$ に $0.03526049$ をかけます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 {(0.4\overline{3})}^{3}$

ステップ 6.2.1.3

$0.4\overline{3}$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 260 \cdot 0.081\overline{370}$

ステップ 6.2.1.4

$- 260$ に $0.081\overline{370}$ をかけます。

$f'' (0.4\overline{3}) = 10.57\overline{814} - 21.15629629$

ステップ 6.2.2

$10.57\overline{814}$ から $21.15629629$ を引きます。

$f'' (0.4\overline{3}) = - 10.57814814$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 10.57814814$ です。

$- 10.57814814$

ステップ 6.3

$0.4\overline{3}$ で二次導関数は $- 10.57814814$ です。これは負の値なので、 $(0, \frac{13}{15})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(0, \frac{13}{15})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{13}{15}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.9\overline{6}$ で置換えます。

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 {(0.9\overline{6})}^{4} - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.9\overline{6}$ を $4$ 乗します。

$f'' (0.9\overline{6}) = 300 \cdot 0.87318641 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

ステップ 7.2.1.2

$300$ に $0.87318641$ をかけます。

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 {(0.9\overline{6})}^{3}$

ステップ 7.2.1.3

$0.9\overline{6}$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 260 \cdot 0.903\overline{296}$

ステップ 7.2.1.4

$- 260$ に $0.903\overline{296}$ をかけます。

$f'' (0.9\overline{6}) = 261.95592592 - 234.85703703$

ステップ 7.2.2

$261.95592592$ から $234.85703703$ を引きます。

$f'' (0.9\overline{6}) = 27.09888888$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $27.09888888$ です。

$27.09888888$

ステップ 7.3

$0.9\overline{6}$ で二次導関数は $27.09888888$ です。これは正の値なので、 $(\frac{13}{15}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{13}{15}, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$ .

$(0, 0), (\frac{13}{15}, - \frac{4826809}{2278125})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例