微分積分例

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

ステップ 1

$y = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ を関数で書きます。

$f (x) = 4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $4 x^{3} - 51 x^{2} - 180 x + 11$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 51 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 180 x] + \frac{d}{d x} [11]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 51 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 51 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 51$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 51 x^{2}$ の微分係数は $- 51 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 51 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 51$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x + \frac{d}{d x} (- 180 x) + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 180 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$- 180$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 180 x$ の微分係数は $- 180 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.4.3

$- 180$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + \frac{d}{d x} (11)$

ステップ 2.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.5.1

$11$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $11$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$12 x^{2} - 102 x - 180$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 12 x^{2} - 102 x - 180$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $12 x^{2} - 102 x - 180$ です。

$12 x^{2} - 102 x - 180$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 102 x - 180 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$6$ を $12 x^{2} - 102 x - 180$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$6$ を $12 x^{2}$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) - 102 x - 180 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$6$ を $- 102 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) - 180 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$6$ を $- 180$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x) + 6 (- 30) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$6$ を $6 (2 x^{2}) + 6 (- 17 x)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$6$ を $6 (2 x^{2} - 17 x) + 6 (- 30)$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

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ステップ 3.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 30 = - 60$ で和が $b = - 17$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$- 17$ を $- 17 x$ で因数分解します。

$6 (2 x^{2} - 17 x - 30) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 17$ を $3$ プラス $- 20$ に書き換える

$6 (2 x^{2} + (3 - 20) x - 30) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$6 (2 x^{2} + 3 x - 20 x - 30) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$6 ((2 x^{2} + 3 x) - 20 x - 30) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$6 (x (2 x + 3) - 10 (2 x + 3)) = 0$

ステップ 3.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 3$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$6 ((2 x + 3) (x - 10)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 3 = 0$

$x - 10 = 0$

ステップ 3.4

$2 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$2 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 3 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $2 x + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$2 x = - 3$

ステップ 3.4.2.2

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$2 x = - 3$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{3}{2}$

ステップ 3.5

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 3.6

最終解は $6 (2 x + 3) (x - 10) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{3}{2}, 10$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{3}{2}, 10$ です。

$- \frac{3}{2}, 10$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{3}{2}) \cup (- \frac{3}{2}, 10) \cup (10, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{3}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.5$ で置換えます。

$f' (- 2.5) = 12 {(- 2.5)}^{2} - 102 \cdot - 2.5 - 180$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 2.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 2.5) = 12 \cdot 6.25 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $6.25$ をかけます。

$f' (- 2.5) = 75 - 102 \cdot - 2.5 - 180$

ステップ 6.2.1.3

$- 102$ に $- 2.5$ をかけます。

$f' (- 2.5) = 75 + 255 - 180$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$75$ と $255$ をたし算します。

$f' (- 2.5) = 330 - 180$

ステップ 6.2.2.2

$330$ から $180$ を引きます。

$f' (- 2.5) = 150$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $150$ です。

$150$

ステップ 6.3

$x = - 2.5$ で微分係数は $150$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{3}{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{3}{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 1.5, 10)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4.25$ で置換えます。

$f' (4.25) = 12 {(4.25)}^{2} - 102 \cdot 4.25 - 180$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$4.25$ を $2$ 乗します。

$f' (4.25) = 12 \cdot 18.0625 - 102 \cdot 4.25 - 180$

ステップ 7.2.1.2

$12$ に $18.0625$ をかけます。

$f' (4.25) = 216.75 - 102 \cdot 4.25 - 180$

ステップ 7.2.1.3

$- 102$ に $4.25$ をかけます。

$f' (4.25) = 216.75 - 433.5 - 180$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$216.75$ から $433.5$ を引きます。

$f' (4.25) = - 216.75 - 180$

ステップ 7.2.2.2

$- 216.75$ から $180$ を引きます。

$f' (4.25) = - 396.75$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 396.75$ です。

$- 396.75$

ステップ 7.3

$x = 4.25$ で微分係数は $- 396.75$ です。これは負の値なので、関数は $(- 1.5, 10)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{3}{2}, 10)$ で減少

ステップ 8

区間 $(10, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $11$ で置換えます。

$f' (11) = 12 {(11)}^{2} - 102 \cdot 11 - 180$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$11$ を $2$ 乗します。

$f' (11) = 12 \cdot 121 - 102 \cdot 11 - 180$

ステップ 8.2.1.2

$12$ に $121$ をかけます。

$f' (11) = 1452 - 102 \cdot 11 - 180$

ステップ 8.2.1.3

$- 102$ に $11$ をかけます。

$f' (11) = 1452 - 1122 - 180$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$1452$ から $1122$ を引きます。

$f' (11) = 330 - 180$

ステップ 8.2.2.2

$330$ から $180$ を引きます。

$f' (11) = 150$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $150$ です。

$150$

ステップ 8.3

$x = 11$ で微分係数は $150$ です。これは正の値なので、関数は $(10, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(10, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{3}{2}), (10, \infty)$ で増加

$(- \frac{3}{2}, 10)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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