微分積分例

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 1

$y = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ を関数で書きます。

$f (x) = 8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $8 x^{3} - 18 x^{2} - 24 x + 9$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$ です。

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $8$ をかけます。

$24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 18$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 18 x^{2}$ の微分係数は $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$24 x^{2} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $- 18$ をかけます。

$24 x^{2} - 36 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 24 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.4.1

$- 24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 24 x$ の微分係数は $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$24 x^{2} - 36 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$24 x^{2} - 36 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.4.3

$- 24$ に $1$ をかけます。

$24 x^{2} - 36 x - 24 + \frac{d}{d x} [9]$

ステップ 2.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.5.1

$9$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $9$ の微分係数は $0$ です。

$24 x^{2} - 36 x - 24 + 0$

ステップ 2.1.5.2

$24 x^{2} - 36 x - 24$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 24 x^{2} - 36 x - 24$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $24 x^{2} - 36 x - 24$ です。

$24 x^{2} - 36 x - 24$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$24 x^{2} - 36 x - 24 = 0$

ステップ 3.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$12$ を $24 x^{2} - 36 x - 24$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1.1

$12$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) - 36 x - 24 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$12$ を $- 36 x$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) - 24 = 0$

ステップ 3.2.1.3

$12$ を $- 24$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x) + 12 (- 2) = 0$

ステップ 3.2.1.4

$12$ を $12 (2 x^{2}) + 12 (- 3 x)$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2) = 0$

ステップ 3.2.1.5

$12$ を $12 (2 x^{2} - 3 x) + 12 (- 2)$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2

因数分解。

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ステップ 3.2.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.2.2.1.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ で和が $b = - 3$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.2.1.1.1

$- 3$ を $- 3 x$ で因数分解します。

$12 (2 x^{2} - 3 x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$- 3$ を $1$ プラス $- 4$ に書き換える

$12 (2 x^{2} + (1 - 4) x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$12 (2 x^{2} + 1 x - 4 x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2.1.1.4

$x$ に $1$ をかけます。

$12 (2 x^{2} + x - 4 x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$12 ((2 x^{2} + x) - 4 x - 2) = 0$

ステップ 3.2.2.1.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$12 (x (2 x + 1) - 2 (2 x + 1)) = 0$

ステップ 3.2.2.1.3

最大公約数 $2 x + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$12 ((2 x + 1) (x - 2)) = 0$

ステップ 3.2.2.2

不要な括弧を削除します。

$12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$2 x + 1 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 3.4

$2 x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$2 x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$2 x + 1 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $2 x + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 3.4.2.2

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 3.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.6

最終解は $12 (2 x + 1) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{1}{2}, 2$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{1}{2}, 2$ です。

$- \frac{1}{2}, 2$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.5$ で置換えます。

$f' (- 1.5) = 24 {(- 1.5)}^{2} - 36 \cdot - 1.5 - 24$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 1.5$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.5) = 24 \cdot 2.25 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

ステップ 6.2.1.2

$24$ に $2.25$ をかけます。

$f' (- 1.5) = 54 - 36 \cdot - 1.5 - 24$

ステップ 6.2.1.3

$- 36$ に $- 1.5$ をかけます。

$f' (- 1.5) = 54 + 54 - 24$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$54$ と $54$ をたし算します。

$f' (- 1.5) = 108 - 24$

ステップ 6.2.2.2

$108$ から $24$ を引きます。

$f' (- 1.5) = 84$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $84$ です。

$84$

ステップ 6.3

$x = - 1.5$ で微分係数は $84$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 0.5, 2)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.75$ で置換えます。

$f' (0.75) = 24 {(0.75)}^{2} - 36 \cdot 0.75 - 24$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.75$ を $2$ 乗します。

$f' (0.75) = 24 \cdot 0.5625 - 36 \cdot 0.75 - 24$

ステップ 7.2.1.2

$24$ に $0.5625$ をかけます。

$f' (0.75) = 13.5 - 36 \cdot 0.75 - 24$

ステップ 7.2.1.3

$- 36$ に $0.75$ をかけます。

$f' (0.75) = 13.5 - 27 - 24$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$13.5$ から $27$ を引きます。

$f' (0.75) = - 13.5 - 24$

ステップ 7.2.2.2

$- 13.5$ から $24$ を引きます。

$f' (0.75) = - 37.5$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 37.5$ です。

$- 37.5$

ステップ 7.3

$x = 0.75$ で微分係数は $- 37.5$ です。これは負の値なので、関数は $(- 0.5, 2)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{1}{2}, 2)$ で減少

ステップ 8

区間 $(2, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = 24 {(3)}^{2} - 36 \cdot 3 - 24$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$3$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = 24 \cdot 9 - 36 \cdot 3 - 24$

ステップ 8.2.1.2

$24$ に $9$ をかけます。

$f' (3) = 216 - 36 \cdot 3 - 24$

ステップ 8.2.1.3

$- 36$ に $3$ をかけます。

$f' (3) = 216 - 108 - 24$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$216$ から $108$ を引きます。

$f' (3) = 108 - 24$

ステップ 8.2.2.2

$108$ から $24$ を引きます。

$f' (3) = 84$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $84$ です。

$84$

ステップ 8.3

$x = 3$ で微分係数は $84$ です。これは正の値なので、関数は $(2, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(2, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}), (2, \infty)$ で増加

$(- \frac{1}{2}, 2)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

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