微分積分例

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$

ステップ 1

$y = x - 4 \ln (3 x - 4)$ を関数で書きます。

$f (x) = x - 4 \ln (3 x - 4)$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x - 4 \ln (3 x - 4)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 4 \ln (3 x - 4)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 \ln (3 x - 4)$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$ です。

$1 - 4 \frac{d}{d x} [\ln (3 x - 4)]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 3 x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 4$ とします。

$1 - 4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

ステップ 2.1.2.2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 4$ で置き換えます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \frac{d}{d x} [3 x - 4])$

ステップ 2.1.2.3

総和則では、 $3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

ステップ 2.1.2.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]))$

ステップ 2.1.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]))$

ステップ 2.1.2.6

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 \cdot 1 + 0))$

ステップ 2.1.2.7

$3$ に $1$ をかけます。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} (3 + 0))$

ステップ 2.1.2.8

$3$ と $0$ をたし算します。

$1 - 4 (\frac{1}{3 x - 4} \cdot 3)$

ステップ 2.1.2.9

$\frac{1}{3 x - 4}$ と $3$ をまとめます。

$1 - 4 \frac{3}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.2.10

$- 4$ と $\frac{3}{3 x - 4}$ をまとめます。

$1 + \frac{- 4 \cdot 3}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.2.11

$- 4$ に $3$ をかけます。

$1 + \frac{- 12}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.2.12

分数の前に負数を移動させます。

$1 - \frac{12}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.3

項をまとめます。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{3 x - 4}{3 x - 4} - \frac{12}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{3 x - 4 - 12}{3 x - 4}$

ステップ 2.1.3.3

$- 4$ から $12$ を引きます。

$f' (x) = \frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ です。

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$3 x - 16 = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式の両辺に $16$ を足します。

$3 x = 16$

ステップ 3.3.2

$3 x = 16$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.2.1

$3 x = 16$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{16}{3}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{16}{3}$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $\frac{16}{3}$ です。

$\frac{16}{3}$

ステップ 5

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{3 x - 16}{3 x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$3 x - 4 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に $4$ を足します。

$3 x = 4$

ステップ 5.2.2

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$3 x = 4$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

ステップ 5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{4}{3}$

ステップ 6

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \frac{16}{3}) \cup (\frac{16}{3}, \infty)$

ステップ 7

定義域にない区間を除外します。

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$

ステップ 8

区間 $(1.3333334, \frac{16}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $3.33333345$ で置換えます。

$f' (3.33333345) = \frac{3 (3.33333345) - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$3$ に $3.33333345$ をかけます。

$f' (3.33333345) = \frac{10.00000035 - 16}{3 (3.33333345) - 4}$

ステップ 8.2.1.2

$10.00000035$ から $16$ を引きます。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{3 (3.33333345) - 4}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$3$ に $3.33333345$ をかけます。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{10.00000035 - 4}$

ステップ 8.2.2.2

$10.00000035$ から $4$ を引きます。

$f' (3.33333345) = \frac{- 5.99999965}{6.00000035}$

ステップ 8.2.3

$- 5.99999965$ を $6.00000035$ で割ります。

$f' (3.33333345) = - 0.99999988$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.99999988$ です。

$- 0.99999988$

ステップ 8.3

$x = 3.33333345$ で微分係数は $- 0.99999988$ です。これは負の値なので、関数は $(1.3333334, \frac{16}{3})$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ で減少

ステップ 9

定義域にない区間を除外します。

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3}), (\frac{16}{3}, \infty)$

ステップ 10

区間 $(\frac{16}{3}, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 10.1

式の変数 $x$ を $6.3333335$ で置換えます。

$f' (6.3333335) = \frac{3 (6.3333335) - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

ステップ 10.2

結果を簡約します。

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ステップ 10.2.1

分子を簡約します。

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ステップ 10.2.1.1

$3$ に $6.3333335$ をかけます。

$f' (6.3333335) = \frac{19.0000005 - 16}{3 (6.3333335) - 4}$

ステップ 10.2.1.2

$19.0000005$ から $16$ を引きます。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{3 (6.3333335) - 4}$

ステップ 10.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 10.2.2.1

$3$ に $6.3333335$ をかけます。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{19.0000005 - 4}$

ステップ 10.2.2.2

$19.0000005$ から $4$ を引きます。

$f' (6.3333335) = \frac{3.0000005}{15.0000005}$

ステップ 10.2.3

$3.0000005$ を $15.0000005$ で割ります。

$f' (6.3333335) = 0.20000002$

ステップ 10.2.4

最終的な答えは $0.20000002$ です。

$0.20000002$

ステップ 10.3

$x = 6.3333335$ で微分係数は $0.20000002$ です。これは正の値なので、関数は $(\frac{16}{3}, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(\frac{16}{3}, \infty)$ で増加

ステップ 11

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(\frac{16}{3}, \infty)$ で増加

$(\frac{4}{3}, \frac{16}{3})$ で減少

ステップ 12

微分積分 例

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