微分積分例

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

ステップ 1

$y = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$

ステップ 2

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{3} - 8 x^{2} - 12 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.1.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.3.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.3.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + \frac{d}{d x} (6)$

ステップ 2.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.4.1

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12 + 0$

ステップ 2.1.4.2

$3 x^{2} - 16 x - 12$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x - 12$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $3 x^{2} - 16 x - 12$ です。

$3 x^{2} - 16 x - 12$

ステップ 3

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

ステップ 3.2

群による因数分解。

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ステップ 3.2.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = 3 \cdot - 12 = - 36$ で和が $b = - 16$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.2.1.1

$- 16$ を $- 16 x$ で因数分解します。

$3 x^{2} - 16 x - 12 = 0$

ステップ 3.2.1.2

$- 16$ を $2$ プラス $- 18$ に書き換える

$3 x^{2} + (2 - 18) x - 12 = 0$

ステップ 3.2.1.3

分配則を当てはめます。

$3 x^{2} + 2 x - 18 x - 12 = 0$

ステップ 3.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 3.2.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$(3 x^{2} + 2 x) - 18 x - 12 = 0$

ステップ 3.2.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$x (3 x + 2) - 6 (3 x + 2) = 0$

ステップ 3.2.3

最大公約数 $3 x + 2$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(3 x + 2) (x - 6) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$3 x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

ステップ 3.4

$3 x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.4.1

$3 x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x + 2 = 0$

ステップ 3.4.2

$x$ について $3 x + 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.4.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$3 x = - 2$

ステップ 3.4.2.2

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$3 x = - 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 2}{3}$

ステップ 3.4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{2}{3}$

ステップ 3.5

$x - 6$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 6$ が $0$ に等しいとします。

$x - 6 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $6$ を足します。

$x = 6$

ステップ 3.6

最終解は $(3 x + 2) (x - 6) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - \frac{2}{3}, 6$

ステップ 4

微分係数が $0$ に等しくなるような値は $- \frac{2}{3}, 6$ です。

$- \frac{2}{3}, 6$

ステップ 5

微分係数 $0$ または未定義になる $x$ 値の周囲で、 $(- \infty, \infty)$ を分離区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}) \cup (- \frac{2}{3}, 6) \cup (6, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{2}{3})$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.6666667$ で置換えます。

$f' (- 1.6666667) = 3 {(- 1.6666667)}^{2} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.6666667$ を $2$ 乗します。

$f' (- 1.6666667) = 3 \cdot 2.777777\overline{8} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

ステップ 6.2.1.2

$3$ に $2.777777\overline{8}$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} - 16 \cdot - 1.6666667 - 12$

ステップ 6.2.1.3

$- 16$ に $- 1.6666667$ をかけます。

$f' (- 1.6666667) = 8.333333\overline{6} + 26.6666672 - 12$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$8.333333\overline{6}$ と $26.6666672$ をたし算します。

$f' (- 1.6666667) = 35.00000086 - 12$

ステップ 6.2.2.2

$35.00000086$ から $12$ を引きます。

$f' (- 1.6666667) = 23.00000086$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $23.00000086$ です。

$23.00000086$

ステップ 6.3

$x = - 1.6666667$ で微分係数は $23.00000086$ です。これは正の値なので、関数は $(- \infty, - \frac{2}{3})$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(- \infty, - \frac{2}{3})$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 0.6666667, 6)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.\overline{6}$ で置換えます。

$f' (2.\overline{6}) = 3 {(2.\overline{6})}^{2} - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$2.\overline{6}$ を $2$ 乗します。

$f' (2.\overline{6}) = 3 \cdot 7.11111102 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

ステップ 7.2.1.2

$3$ に $7.11111102$ をかけます。

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 16 \cdot 2.\overline{6} - 12$

ステップ 7.2.1.3

$- 16$ に $2.\overline{6}$ をかけます。

$f' (2.\overline{6}) = 21.33333306 - 42.6666664 - 12$

ステップ 7.2.2

数を引いて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$21.33333306$ から $42.6666664$ を引きます。

$f' (2.\overline{6}) = - 21.\overline{3} - 12$

ステップ 7.2.2.2

$- 21.\overline{3}$ から $12$ を引きます。

$f' (2.\overline{6}) = - 33.\overline{3}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 33.\overline{3}$ です。

$- 33.\overline{3}$

ステップ 7.3

$x = 2.\overline{6}$ で微分係数は $- 33.\overline{3}$ です。これは負の値なので、関数は $(- 0.6666667, 6)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \frac{2}{3}, 6)$ で減少

ステップ 8

区間 $(6, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $7$ で置換えます。

$f' (7) = 3 {(7)}^{2} - 16 \cdot 7 - 12$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$7$ を $2$ 乗します。

$f' (7) = 3 \cdot 49 - 16 \cdot 7 - 12$

ステップ 8.2.1.2

$3$ に $49$ をかけます。

$f' (7) = 147 - 16 \cdot 7 - 12$

ステップ 8.2.1.3

$- 16$ に $7$ をかけます。

$f' (7) = 147 - 112 - 12$

ステップ 8.2.2

数を引いて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$147$ から $112$ を引きます。

$f' (7) = 35 - 12$

ステップ 8.2.2.2

$35$ から $12$ を引きます。

$f' (7) = 23$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $23$ です。

$23$

ステップ 8.3

$x = 7$ で微分係数は $23$ です。これは正の値なので、関数は $(6, \infty)$ で増加します。

$f' (x) > 0$ なので $(6, \infty)$ で増加

ステップ 9

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, - \frac{2}{3}), (6, \infty)$ で増加

$(- \frac{2}{3}, 6)$ で減少

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例