微分積分例

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 1

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x]$

ステップ 2.1.4

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1$

ステップ 2.1.4.3

$- 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $6 x^{2} + 6 x - 12$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$12 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 12]$

ステップ 2.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.2.4.1

$- 12$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 12$ の微分係数は $0$ です。

$12 x + 6 + 0$

ステップ 2.2.4.2

$12 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x + 6$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x + 6$ です。

$12 x + 6$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x + 6 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x + 6 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$12 x = - 6$

ステップ 3.3

$12 x = - 6$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$12 x = - 6$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 3.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{12}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 6$ と $12$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$- \frac{1}{2}$ を $f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $- \frac{1}{2}$ で置換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{1}{2})}^{3} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.1.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{2^{3}})) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.2

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{2^{3}}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.4

$2$ を $3$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$- \frac{1}{8}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{8}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5.2

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 (4)}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 4}) + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.5.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.7

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.7.1

積の法則を $- \frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.7.2

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.8

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.9

$\frac{1^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.10

1のすべての数の累乗は1です。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2^{2}}) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.11

$2$ を $2$ 乗します。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{4}) - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.12

$3$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.13

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.13.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 12 (\frac{- 1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.13.2

$2$ を $- 12$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 (- 6) (\frac{- 1}{2})$

ステップ 4.1.2.1.13.3

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot (- 6 (\frac{- 1}{2}))$

ステップ 4.1.2.1.13.4

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} - 6 \cdot - 1$

ステップ 4.1.2.1.14

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 6$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{- 1 + 3}{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2}{4}$

ステップ 4.1.2.2.3

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 (1)}{4}$

ステップ 4.1.2.2.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

ステップ 4.1.2.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.3

$6$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$f (- \frac{1}{2}) = 6 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.4

$6$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}$

ステップ 4.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{6 \cdot 2 + 1}{2}$

ステップ 4.1.2.6

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.6.1

$6$ に $2$ をかけます。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{12 + 1}{2}$

ステップ 4.1.2.6.2

$12$ と $1$ をたし算します。

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{13}{2}$

ステップ 4.1.2.7

最終的な答えは $\frac{13}{2}$ です。

$\frac{13}{2}$

ステップ 4.2

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x$ で代入して $- \frac{1}{2}$ 求めた点は、 $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.6$ で置換えます。

$f'' (- 0.6) = 12 (- 0.6) + 6$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$12$ に $- 0.6$ をかけます。

$f'' (- 0.6) = - 7.2 + 6$

ステップ 6.2.2

$- 7.2$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 0.6) = - 1.2$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1.2$ です。

$- 1.2$

ステップ 6.3

$- 0.6$ で二次導関数は $- 1.2$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で減少

ステップ 7

区間 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 0.4$ で置換えます。

$f'' (- 0.4) = 12 (- 0.4) + 6$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$12$ に $- 0.4$ をかけます。

$f'' (- 0.4) = - 4.8 + 6$

ステップ 7.2.2

$- 4.8$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 0.4) = 1.2$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.2$ です。

$1.2$

ステップ 7.3

$- 0.4$ で二次導関数は $1.2$ です。これは正の値なので、 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$ です。

$(- \frac{1}{2}, \frac{13}{2})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例