微分積分例

$f (x) = \frac{3}{x - 5}$

ステップ 1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x - 5}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 5}]$ です。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x - 5})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{x - 5}$ を ${(x - 5)}^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} ({(x - 5)}^{- 1})$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f' (x) = 3 (- {(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = - 3 ({(x - 5)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.1.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.5.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = - 3 {(x - 5)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - 3 \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{- 3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{3}{{(x - 5)}^{2}}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

ステップ 1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ を ${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$

ステップ 1.2.1.2.2

${({(x - 5)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{2 \cdot - 1}$

ステップ 1.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} {(x - 5)}^{- 2}$

ステップ 1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 5$ とします。

$f'' (x) = - 3 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 3 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 5$ で置き換えます。

$f'' (x) = - 3 (- 2 {(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (x) = 6 ({(x - 5)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x - 5))$

ステップ 1.2.3.2

総和則では、 $x - 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ です。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (- 5))$

ステップ 1.2.3.4

$- 5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 5$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 1.2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.2.3.5.2

$6$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 6 {(x - 5)}^{- 3}$

ステップ 1.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{{(x - 5)}^{3}})$

ステップ 1.2.4.2

$6$ と $\frac{1}{{(x - 5)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$ です。

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}}$

ステップ 2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6}{{(x - 5)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

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