微分積分例

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ , $[0, 2]$

ステップ 1

$f$ が区間 $[a, b]$ で連続し、 $(a, b)$ で微分可能ならば、区間 $(a, b)$ 内に $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ であるような少なくとも1個の実数 $c$ が存在します。平均値の定理は、 $x = c$ における曲線の正切の傾きと、点 $(a, f (a))$ と点 $(b, f (b))$ を通る直線の傾きの関係を表しています。

$f (x)$ が $[a, b]$ で連続するならば

$f (x)$ が $(a, b)$ で微分可能なとき、

次に、少なくとも $[a, b]$ に1点 $c$ があります： $f' (c) = \frac{f (b) - f a}{b - a}$ です。

ステップ 2

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x + 3$ が連続関数か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 2.2

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数を求めます。

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ステップ 3.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 3.1.1

総和則では、 $4 x^{2} - 2 x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{2}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.2.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.3

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1.3.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$8 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.3.3

$- 2$ に $1$ をかけます。

$8 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]$

ステップ 3.1.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 3.1.4.1

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$8 x - 2 + 0$

ステップ 3.1.4.2

$8 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 8 x - 2$

ステップ 3.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $8 x - 2$ です。

$8 x - 2$

ステップ 4

微分係数が $(0, 2)$ 上で連続か求めます。

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ステップ 4.1

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4.2

$f' (x)$ は $(0, 2)$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 5

微分係数が $(0, 2)$ で連続なので、関数は $(0, 2)$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 6

$f (x)$ は平均値の定理の2つの条件を満たします。 $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

$f (x)$ は $[0, 2]$ で連続し、 $(0, 2)$ で微分可能です。

ステップ 7

区間 $[0, 2]$ から $f (a)$ の値を求めます。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 4 {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 4 \cdot 0 - 2 \cdot 0 + 3$

ステップ 7.2.1.2

$4$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

ステップ 7.2.1.3

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0 + 3$

ステップ 7.2.2

数を加えて簡約します。

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ステップ 7.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 + 3$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f (0) = 3$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $3$ です。

$3$

ステップ 8

区間 $[0, 2]$ から $f (b)$ の値を求めます。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f (2) = 4 {(2)}^{2} - 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

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ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f (2) = 4 \cdot 4 - 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 8.2.1.2

$4$ に $4$ をかけます。

$f (2) = 16 - 2 \cdot 2 + 3$

ステップ 8.2.1.3

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f (2) = 16 - 4 + 3$

ステップ 8.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 8.2.2.1

$16$ から $4$ を引きます。

$f (2) = 12 + 3$

ステップ 8.2.2.2

$12$ と $3$ をたし算します。

$f (2) = 15$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $15$ です。

$15$

ステップ 9

$x$ について $8 x - 2 = \frac{- (f (b) + f (a))}{- (b + a)}$ を解きます。 $8 x - 2 = \frac{- (f (2) + f (0))}{- (2 + 0)}$ です。

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ステップ 9.1

$\frac{(15) - (3)}{(2) - (0)}$ を簡約します。

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ステップ 9.1.1

分子を簡約します。

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ステップ 9.1.1.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$8 x - 2 = \frac{15 - 3}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.1.2

$15$ から $3$ を引きます。

$8 x - 2 = \frac{12}{2 - (0)}$

ステップ 9.1.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.1.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$8 x - 2 = \frac{12}{2 + 0}$

ステップ 9.1.2.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$8 x - 2 = \frac{12}{2}$

ステップ 9.1.3

$12$ を $2$ で割ります。

$8 x - 2 = 6$

ステップ 9.2

$x$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 9.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$8 x = 6 + 2$

ステップ 9.2.2

$6$ と $2$ をたし算します。

$8 x = 8$

ステップ 9.3

$8 x = 8$ の各項を $8$ で割り、簡約します。

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ステップ 9.3.1

$8 x = 8$ の各項を $8$ で割ります。

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

ステップ 9.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 9.3.2.1

$8$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{8 x}{8} = \frac{8}{8}$

ステップ 9.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{8}{8}$

ステップ 9.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 9.3.3.1

$8$ を $8$ で割ります。

$x = 1$

ステップ 10

$x = 1$ において求められた接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

$x = 1$ における接線があり、端点 $a = 0$ と $b = 2$ を通る線と平行です。

ステップ 11

微分積分 例

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