微分積分例

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x + \frac{1}{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 - x^{- 2}$

ステップ 1.1.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = 1 - \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1.1.1.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(x^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.3

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2}$ とします。

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.3.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.5

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.6

${(x^{2})}^{- 2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.6.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.8

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.10

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.11

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.12

$\frac{1}{x^{2}}$ に $0$ をかけます。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.2.13

$2 x^{- 3}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

ステップ 1.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

ステップ 1.1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

$2$ と $\frac{1}{x^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

ステップ 1.1.2.4.2.2

$\frac{2}{x^{3}}$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{x^{3}}$ です。

$\frac{2}{x^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{x^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{x^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = x + \frac{1}{x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x = 0$

ステップ 2.2

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$2$ と ${(- 2)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ を $- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{- 1 \cdot - 2}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ を $- 1 (- 2)$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.3

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.3.1

$- 2$ を ${(- 2)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.1.3.3

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{- 1}{4}$

ステップ 4.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2) = - \frac{1}{4}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が負なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{2}{{(2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ と ${(2)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.2.1

$2$ を ${(2)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

ステップ 5.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

ステップ 5.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{1}{2^{2}}$

ステップ 5.2.2

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例